2023年“北约”“华约”自主招生模拟试题

发布 2022-07-19 05:55:28 阅读 6671

模拟试题(满分150分)

5. 设p是抛物线上的动点,点a的坐标为,点m在直线pa上,且分所成的比为2:1,则点m的轨迹方程是。

第二部分:解答题(共5小题每题20分)

1设集合,.若,求实数的取值范围。

2. 为了搞好学校的工作,全校各班级一共提了p条建议。已知有些班级提出了相同的建议,且任何两个班级都至少有一条建议相同,但没有两个班提出全部相同的建议。

求证该校的班级数不多于个。

3. 设平面向量,.若存在实数和角,使向量, ,且。

)求函数的关系式; (令,求函数的极值。

4. 已知双曲线的两个焦点分别为, ,其中又是抛物线的焦点,点a,b在双曲线上。

)求点的轨迹方程是否存在直线与点的轨迹有且只。

有两个公共点?若存在,求实数的值,若不存在,请说明理由。

5. 已知a,b均为正整数,且求证:对一切,均为整数。

参***。一、 选择题。

1. 由,得,有,即。

则,原式=.

2. 设, ,代入原方程整理得。

有,解得或,所以或。

3. 直接求x的个位数字很困难,需将与x相关数联系,转化成研究其相关数。

解】令。由二项式定理知,对任意正整数n.

为整数,且个位数字为零。

因此,是个位数字为零的整数。再对y估值,因为, 且,所以故x的个位数字为9.

评述】转化的思想很重要,当研究的问题遇到困难时,将其转化为可研究的问题。

4. 解:被除余的数可写为。 由≤≤.知≤≤.

又若某个使能被57整除,则可设=57n. 即。

即应为7的倍数。 设代入,得。 ∴m=0,1.于是所求的个数为.

5. 设点p,m,有, ,得,而,于是得点m的轨迹方程是。

二、 解答题。

1. 解:,.

当时,,由得;

当时,,由得;

当时,,与不符.

综上所述,

2. 证明:假设该校共有个班级,他们的建议分别组成集合。

这些集合中没有两个相同(因为没有两个班级提出全部相同的建议),而任何两个集合都有相同的元素,因此任何一个集合都不是另外一个集合的补集。这样在中至多有a(所有p条建议所组成的集合)的个子集,所以。

3. 解:()由, ,得,即,得。

)由,得。求导得,令,得,当, ,为增函数;当时, ,为减函数;

当时, ,为增函数。

所以当,即时,有极大值;当,即时,有极小。

值。4.解:()设则。

去掉绝对值号有两种情况,分别得的轨迹。

方程为和()

)直线:,:d(1,4),椭圆q:

若过点或d,由,d两点既在直线上,又在椭圆q上,但不在的轨迹上,知与的轨迹只有一个公共点,不合题意。

若不过,d两点().则与必有一个公共点e,且点e不在椭圆q上,所以要使与的轨迹有且只有两个公共点,必须使与q有且只有一个公共点,把代入椭圆的方程并整理得。

由,得。评述】把为与复数联系在一起是本题的关键。

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