模拟试题(满分150分)
5. 设p是抛物线上的动点,点a的坐标为,点m在直线pa上,且分所成的比为2:1,则点m的轨迹方程是。
第二部分:解答题(共5小题每题20分)
1设集合,.若,求实数的取值范围。
2. 为了搞好学校的工作,全校各班级一共提了p条建议。已知有些班级提出了相同的建议,且任何两个班级都至少有一条建议相同,但没有两个班提出全部相同的建议。
求证该校的班级数不多于个。
3. 设平面向量,.若存在实数和角,使向量, ,且。
)求函数的关系式; (令,求函数的极值。
4. 已知双曲线的两个焦点分别为, ,其中又是抛物线的焦点,点a,b在双曲线上。
)求点的轨迹方程是否存在直线与点的轨迹有且只。
有两个公共点?若存在,求实数的值,若不存在,请说明理由。
5. 已知a,b均为正整数,且求证:对一切,均为整数。
参***。一、 选择题。
1. 由,得,有,即。
则,原式=.
2. 设, ,代入原方程整理得。
有,解得或,所以或。
3. 直接求x的个位数字很困难,需将与x相关数联系,转化成研究其相关数。
解】令。由二项式定理知,对任意正整数n.
为整数,且个位数字为零。
因此,是个位数字为零的整数。再对y估值,因为, 且,所以故x的个位数字为9.
评述】转化的思想很重要,当研究的问题遇到困难时,将其转化为可研究的问题。
4. 解:被除余的数可写为。 由≤≤.知≤≤.
又若某个使能被57整除,则可设=57n. 即。
即应为7的倍数。 设代入,得。 ∴m=0,1.于是所求的个数为.
5. 设点p,m,有, ,得,而,于是得点m的轨迹方程是。
二、 解答题。
1. 解:,.
当时,,由得;
当时,,由得;
当时,,与不符.
综上所述,
2. 证明:假设该校共有个班级,他们的建议分别组成集合。
这些集合中没有两个相同(因为没有两个班级提出全部相同的建议),而任何两个集合都有相同的元素,因此任何一个集合都不是另外一个集合的补集。这样在中至多有a(所有p条建议所组成的集合)的个子集,所以。
3. 解:()由, ,得,即,得。
)由,得。求导得,令,得,当, ,为增函数;当时, ,为减函数;
当时, ,为增函数。
所以当,即时,有极大值;当,即时,有极小。
值。4.解:()设则。
去掉绝对值号有两种情况,分别得的轨迹。
方程为和()
)直线:,:d(1,4),椭圆q:
若过点或d,由,d两点既在直线上,又在椭圆q上,但不在的轨迹上,知与的轨迹只有一个公共点,不合题意。
若不过,d两点().则与必有一个公共点e,且点e不在椭圆q上,所以要使与的轨迹有且只有两个公共点,必须使与q有且只有一个公共点,把代入椭圆的方程并整理得。
由,得。评述】把为与复数联系在一起是本题的关键。
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