第三章算法初步导数。
考点1 利用导数的定义求函数的导数。
1.根据导数的定义求函数 y＝f(x)在点x0处导数的方法：
1)求函数的增量δy＝f(x0＋δx)－f(x0)；
2)求平均变化率＝；
3)得导数 f ′(x0)＝，简记作：一差、二比、三极限．
2．函数的导数与导数值的区别与联系：导数是原来函数的导函数，而导数值是导函数在某一点的函数值，导数值是常数。
例1、若函数y＝f(x)在x＝a处的导数为a，则为( )
a．a b．2a c. d．0
考点2 求简单函数的导数。
求函数的导数时，要准确地把函数分割为基本函数的和、差、积、商及其复合运算的形式，再利用运算法则求导数．对于不具备求导法则结构形式的要适当恒等变形；对于比较复杂的函数，如果直接套用求导法则，会使求导过程烦琐冗长，且易出错，此时，可将解析式进行合理变形，转化为较易求导的结构形式，再求导数．但必须注意变形的等价性，避免不必要的运算失误．
例2 (1)(2023年济宁市高考**)已知f(x)＝x(2011＋lnx)，f′(x0)＝2012，则x0＝(
a．e2 b．1 c．ln2 d．e
2)(2023年汕头市高三模拟)已知函数f(x)(x∈r)满足f(1)＝1，且f(x)的导函数f′(x)<，则f(x)<＋的解集为( )
a．解析】 (1)由题意可知f′(x)＝2011＋lnx＋x·＝2012＋lnx.
由f′(x0)＝2012
lnx0＝0，解得x0＝1.
2)h(x)＝f(x)－－则h′(x)＝f′(x)－<0，∴h(x)在r上是减函数，h(1)＝f(1)－－1－1＝0，h(x)＝f(x)－－0的解集为．选d.
求下列函数的导数．
1)y＝2x3＋x－6；
2)y＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)；
3)y＝－sin；
4)y＝＋.
解：(1)y′＝6x2＋1.
2)y＝(x2＋3x＋2)(x＋3)
x3＋6x2＋11x＋6，y′＝3x2＋12x＋11.
3)∵y＝－sin＝sinx，y′＝′sinx)′＝cosx.
4)y＝＋＝y′＝′
考点3 导数的几何意义。
1） 求切线方程的步骤。
2） 导函数范围与斜率范围的关系。
3） 倾斜角范围及正切函数图象。
4） 直线平行、垂直的充要条件。
5） 曲线上一点到直线上的最近距离。
例3 (1)(2023年山东高考)曲线y＝x3＋11在点p(1,12)处的切线与y轴交点的纵坐标是( )
a．－9 b．－3 c．9 d．15
2)(2023年湖南高考)曲线y＝－在m(，0)处的切线的斜率为( )
a．－ b. c．－ d.
解析】 (1)y′＝3x2，切线斜率k＝y′|x＝1＝3，又切线过p(1,12)，故切线方程为y－12＝3(x－1)．
即y＝3x＋9，令x＝0，得y＝9.2)y′＝
y＝－在点m(，0)处的切线斜率为k＝y′|x＝＝＝
答案】 (1)c (2)b
11曲线上任一点处的切线的倾斜角的范围是（）
a． b．c． d．
11 【答案】a
解析】试题分析：由导数的几何意义可知。
考点：导数的几何意义，直线的斜率与倾斜角的关系。
点评：掌握导数的几何意义是指在某点处的导数就是在此点处的切线的斜率，从而可利用导数求出斜率的取值范围，从而得到倾斜角的取值范围。
2023年福建高考)已知函数f(x)＝x3－x2＋ax＋b的图象在点p(0, f(0))处的切线方程为y＝3x－2.求实数a，b的值．
解：f ′(x)＝x2－2x＋a，f ′(0)＝a＝3，即a＝3，又p(0, f(0))既在曲线f(x)上，又在切线y＝3x－2上，∴f(0)＝×03－02＋a×0＋b＝3×0－2，即b＝－2.∴a＝3，b＝－2.
考点4 求函数的单调区间、极值、最值的步骤。
1） 函数在给定区间为增函数等价于。
2） 原函数三次函数，则原函数有极值等价于无极值等价于。
3） x=a为极值点等价于反之对吗？）
求已知函数的极值。
例4 (2023年安徽高考)设f(x)＝，其中a为正实数．
1)当a＝时，求f(x)的极值点；
2)若f(x)为r上的单调函数，求a的取值范围．
20．(2023年北京卷)设函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d(a>0)，且方程f ′(x)－9x＝0的两个根分别为1,4.
1)当a＝3且曲线y＝f(x)过原点时，求f(x)的解析式；
2)若f(x)在(－∞内无极值点，求a的取值范围．
错解：对无极值理解不到位。
解：由f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d，得f ′(x)＝ax2＋2bx＋c.
因为f ′(x)－9x＝ax2＋2bx＋c－9x＝0的两个根分别为1,4，所以(*)
1)当a＝3时，由(*)式得。
解得。又因为曲线y＝f(x)过原点，所以d＝0.
故f(x)＝x3－2x2＋12x.
2)由于a>0，所以“f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d在(－∞内无极值点”等价于“f ′(x)＝ax2＋2bx＋c≥0在(－∞内恒成立”．
由(*)式得2b＝9－5a，c＝4a.
又δ＝(2b)2－4ac＝9(a－1)(a－9)．
由得1≤a≤9，即a的取值范围是[1,9]．
考点四：函数单调性的应用。
1） 解超越方程。
2） 恒成立问题。
3） 不等式证明。
利用导数证明不等式的关键是把不等式的一边全部移到另一边，并构造成函数的形式，不妨记为y＝f(x)，x∈(a，b)．若f ′(x)>0恒成立，则有f(x)>f(a)或f(x)f(b)恒成立．若函数y＝f(x)在x∈(a，b)上有最小值m，则有f(x)≥m恒成立；若函数y＝f(x)在x∈(a，b)上有最大值n，则有f(x)≤n恒成立．利用上述结论之一，可构造不等式，并转化为我们要证明的不等式．
设函数 f(x)＝x2＋ex－xex.
1)求 f(x)的单调区间；
2)若当x∈[－2,2]时，不等式 f(x)>m恒成立，求实数m的取值范围．
解：(1)函数 f(x)的定义域为(－∞因为f ′(x)＝x＋ex－(ex＋xex)＝x(1－ex)，由f ′(x)＝x(1－ex)>0得x<0，f ′(x)<0得x>0，则 f(x)的单调递增区间为(－∞0)，单调递减区间为(0，＋∞
2)由(1)知， f(x)在[0,2]上单调递减，在[－2,0]上单调递增，又f(－2)＝2＋，f(2)＝2－e2，且2＋>2－e2，所以x∈[－2,2]时，[ f(x)]min＝2－e2，故m<2－e2时，不等式 f(x)>m恒成立。
例4 (2023年辽宁高考)设函数f(x)＝x＋ax2＋blnx，曲线y＝f(x)过p(1,0)，且在p点处的切线斜率为2.
1)求a，b的值；
2)证明：f(x)≤2x－2.
解：(1)f′(x)＝1＋2ax＋.
由已知条件得即。
解得a＝－1，b＝3.
2)f(x)的定义域为(0，＋∞由(1)知f(x)＝x－x2＋3lnx.
设g(x)＝f(x)－(2x－2)＝2－x－x2＋3lnx，则。
g′(x)＝－1－2x＋＝－
当00；当x>1时，g′(x)<0
所以g(x)在(0,1)单调增加，在(1，＋∞单调减少．
而g(1)＝0，故当x>0时，g(x)≤0，即f(x)≤2x－2.
2023年安徽高考)设a为实数，函数f(x)＝ex－2x＋2a，x∈r.
1)求f(x)的单调区间与极值；
2)求证：当a>ln2－1且x>0时，ex>x2－2ax＋1.
解：(1)由f(x)＝ex－2x＋2a，x∈r，知f ′(x)＝ex－2，x∈r.
令f ′(x)＝0，得x＝ln2.
于是当x变化时， f ′(x), f(x)的变化情况如下表：
故f(x)的单调递减区间是(－∞ln2)，单调递增区间是(ln2，＋∞f(x)在x＝ln2处取得极小值，极小值为f(ln2)＝eln2－2ln2＋2a＝2(1－ln2＋a)．
2)证明：设g(x)＝ex－x2＋2ax－1，x∈r.
于是g′(x)＝ex－2x＋2a，x∈r.
由(1)知当a>ln2－1时，g′(x)的最小值为g′(ln2)＝2(1－ln2＋a)>0.
于是对任意x∈r，都有g′(x)>0，所以g(x)在r上单调递增．
于是当a>ln2－1时，对任意x∈(0，＋∞都有g(x)>g(0)．
而g(0)＝0，从而对任意x∈(0，＋∞g(x)>0，即ex－x2＋2ax－1>0，故ex>x2－2ax＋1.
19．(12分)奇函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx的图象过点a(－，b(2，10)．
1)求f(x)的表达式；
2)求f(x)的单调区间；
3)若方程f(x)＋m＝0有三个不同的实根，求m的取值范围．
19．解：(1)∵f(x)＝ax3＋bx2＋cx为奇函数，f(－x)＝－f(x)(x∈r)，b＝0，∴f(x)＝ax3＋cx.
图象过点a(－，b(2，10)，即∴
f(x)＝x3－3x.
2)∵f(x)＝x3－3x，f′(x)＝3x2－3＝3(x－1)(x＋1)，当－1当x<－1或x>1时，f′(x)>0，f(x)的递增区间是(－∞1)和(1，＋∞递减区间是(－1,1)．
3)∵f(－1)＝2，f(1)＝－2，为使方程f(x)＋m＝0，即f(x)＝－m有三个不等实根，则－2<－m<2，即－2∴m的取值范围是(－2,2)．
复习中的易错题。
8、把一个周长为12 cm的长方形围成一个圆柱，当圆柱的体积最大时，该圆柱底面周长与高的比为a．2∶1 b．1c．1∶2d．2∶π
导数考点总结
考点一 求导公式。例1.是的导函数，则的值是。解析 所以。答案 3点评 本题考查多项式的求导法则。考点二 导数的几何意义。例2.已知函数的图象在点处的切线方程是，则。解析 因为，所以，由切线过点，可得点m的纵坐标为，所以，所以。答案 3例3.曲线在点处的切线方程是。解析 点处切线的斜率为，所以设切线...
函数复习考点汇总
一 明确函数的本质，函数就是方程，每一组对应的自变量与函数值就是函数解析式的一组解，就是一个点的坐标 即图象上的点的坐标值可以看做方程的解而代入方程 函数解析式 中进行求解。二 明确函数的图象与函数的关系，掌握画图象的三步骤 列表 描点 连线。三 能熟练计算函数自变量的取值范围。四 两类特殊点的坐标...
导数题型汇总
易错点 学法指导及例题研究。例1 函数是定义在r上的可导函数，则是函数在时取得极值的 b a 充分不必要条件 b 必要不充分条件 c 充要条件 d 既不充分也不必要条件。例2 已知函数处有极大值，则常数c 6 略解 则，时取得极大值，所以经检验 如令 变式引申 函数在 x 1 时有极值10，则a，b...