一、考点分析。
高考对导数的考查定位在作为解决初等数学问题的工具这一目标上，主要体现在以下方面：①运用导数有关知识研究函数的单调性和最值问题；②利用导数的几何意义，研究曲线切线的斜率也是导数的一个重要内容之一；③对一些实际问题建立数学模型后求解．
二、直击考点。
考点1 考查导数的几何意义。
例1 （08·宁夏）设函数，曲线在点处的切线方程为。
1） 求的解析式；
2） 证明：曲线的图像是一个中心对称图形，并求其对称中心；
3） 证明：曲线上任一点的切线与直线和直线所围三角形的面积为定值，并求出此定值。
解 ：（1），于是解得或。
因，故．2）证明：已知函数，都是奇函数．
所以函数也是奇函数，其图像是以原点为中心的中心对称图形．
而．可知，函数的图像按向量平移，即得到函数的图像，故函数的图像是以点为中心的中心对称图形．
3）证明：在曲线上任取一点．
由知，过此点的切线方程为．
令得，切线与直线交点为．
令得，切线与直线交点为．
直线与直线的交点为．
从而所围三角形的面积为．
所以，所围三角形的面积为定值．
点评：导数的几何意义是曲线数在某点处切线的斜率．故可以研究切线倾斜角问题，另外应注意求切线的方程时p（x0，y0）是否在曲线上，注意该点可能是切点，也可能不是切点，因而所求的切线方程可能不只有1条。
练习1（08·全国）设曲线在点处的切线与直线垂直，则（ ）
a．2 b． c． d．
考点2 考查利用导数判断函数的单调性。
例2 （08·全国）已知函数，．
ⅰ）讨论函数的单调区间；
ⅱ）设函数在区间内是减函数，求的取值范围．
解：（1）求导：
当时，，，在上递增。
当，求得两根为，即在递增，递减，递增。
2），且解得：
评注：此题考查的是可导函数的单调性与其导数的关系和数形结合思想的应用．判断的法则是：设在某个区间内可导，若，则为增函数；若，则为减函数，反之亦然．
练习2（08·安徽）设函数。
ⅰ）求函数的单调区间；
ⅱ）已知对任意成立，求实数的取值范围。
考点3 考查极值问题。
例3 （08·陕西）已知函数（且，）恰有一个极大值点和一个极小值点，其中一个是．
ⅰ）求函数的另一个极值点；
ⅱ）求函数的极大值和极小值，并求时的取值范围．
解：（ⅰ由题意知，即得，（*
由得，由韦达定理知另一个极值点为（或）．
ⅱ）由（*）式得，即．当时，；当时，．
i）当时，在和内是减函数，在内是增函数．，由及，解得．
ii）当时，在和内是增函数，在内是减函数．
恒成立．综上可知，所求的取值范围为．
评注：此题考查的是可导函数在某点取得极值的充要条件，即设在某个区间内可导，函数在某点取得极值的充要条件是该点的导数为零且在该点两侧的导数值异号．
练习3：（08广东）设，若函数，有大于零的极值点，则（ ）
ab． cd．
考点4 考查最值问题。
例4 （08·天津）已知函数（），其中．
ⅰ）当时，讨论函数的单调性；
ⅱ）若函数仅在处有极值，求的取值范围；
ⅲ）若对于任意的，不等式在上恒成立，求的取值范围．
ⅰ）解：．当时，．
令，解得，，．
当变化时，，的变化情况如下表：
所以在，内是增函数，在，内是减函数．
ⅱ）解：，显然不是方程的根．
为使仅在处有极值，必须成立，即有．
解些不等式，得．这时，是唯一极值．
因此满足条件的的取值范围是．
ⅲ）解：由条件，可知，从而恒成立．
当时，；当时，．
因此函数在上的最大值是与两者中的较大者．
为使对任意的，不等式在上恒成立，当且仅当，即，在上恒成立．
所以，因此满足条件的的取值范围是．
点评：本小题主要考查利用导数研究函数的单调性、函数的最大值、解不等式等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力。借助于导数可以研究函数的最值，利用最值可以研究一类恒成立问题，一般地，f(x)≥a对x∈r恒成立f(x)的最小值≥a成立；f(x)≤a对x∈r恒成立f(x)的最大值≤a成立。
练习4（08·（2024年安徽）设函数为实数。
ⅰ）已知函数在处取得极值，求的值；
ⅱ）已知不等式对任意都成立，求实数的取值范围。
考点5：考查导数与其它知识的交汇。
例5 （08·福建）已知函数。
（ⅰ）设是正数组成的数列，前n项和为sn，其中a1=3.若点(n∈
n*)在函数y=f′(x)的图象上，求证：点（n,sn）也在y=f′(x)的图象上；
（ⅱ）求函数f(x)在区间（a-1,a）内的极值。
(ⅰ)证明：因为所以′(x)=x2+2x,由点在函数y=f′(x)的图象上，又所以。
所以，又因为′(n)=n2+2n,所以，故点也在函数y=f′(x)的图象上。
ⅱ)解：,由得。
当x变化时，﹑的变化情况如下表：
注意到，从而。
当，此时无极小值；
当的极小值为，此时无极大值；
当既无极大值又无极小值。
点评：本小题主要考查函数极值、等差数列等基本知识，考查分类与整合、转化与化归等数学思想方法，考查分析问题和解决问题的能力，体现了导数的工具性。
练习5：（2024年山东卷）已知函数，其中，为常数．
ⅰ）当时，求函数的极值；
ⅱ）当时，证明：对任意的正整数，当时，有．
考点6 考查导数的实际应用。
例6（08·江苏）某地有三家工厂，分别位于矩形abcd 的顶点a,b 及cd的中点p 处，已知ab=20km,cb =10km ，为了处理三家工厂的污水，现要在矩形abcd 的区域上（含边界），且a,b 与等距离的一点o 处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道ao,bo,op ，设排污管道的总长为km．
ⅰ）按下列要求写出函数关系式：
设∠bao= (rad)，将表示成的函数关系式；
设op (km) ，将表示成x的函数关系式．
ⅱ）请你选用（ⅰ）中的一个函数关系式，确定污水处理厂的位置，使三条排污管道总长度最短．
解：（ⅰ由条件知pq 垂直平分ab，若∠bao= (rad) ，则， 故。
又op＝10－10ta，所以，
所求函数关系式为。
若op= (km) ，则oq＝10－，所以oa =ob=
所求函数关系式为。
ⅱ）选择函数模型①，
令0 得sin，因为，所以=，当时， ，是的减函数；当时， ，是的增函数，所以当=时，。这时点p 位于线段ab 的中垂线上，且距离ab 边。
km处。评注：在解决导数与数学建模问题时，首先要注意自变量的取值范围，即考察问题的实际意义．在应用问题的设计上，高考多设置为单峰函数，以降低要求．
练习6（2008广东高考试题）某单位用2160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层、每层2000平方米的楼房。经测算，如果将楼房建为x（x10）层，则每平方米的平均建筑费用为560+48x（单位：元）。
为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？
注：平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用，平均购地费用=）
练习答案：1、 d
2、解 ：(1)若则列表如下。
(2)在两边取对数， 得，由于所以1)由(1)的结果可知，当时， ,为使(1)式对所有成立，当且仅当，即。
3、解：，若函数在上有大于零的极值点，即有正根。当有成立时，显然有，此时，由我们马上就能得到参数的范围为。答案为b。
4、解： (1) ，由于函数在时取得极值，所以
即 (2) 方法一。
由题设知：对任意都成立。
即对任意都成立。
设， 则对任意，为单调递增函数。
所以对任意，恒成立的充分必要条件是。
即， 于是的取值范围是。
方法二。由题设知：对任意都成立。
即对任意都成立。
于是对任意都成立，即。
于是的取值范围是。
5、（ⅰ解：由已知得函数的定义域为，当时，，所以．
1）当时，由得，此时．
当时，，单调递减；
当时，，单调递增．
2）当时，恒成立，所以无极值．
综上所述，时，当时，在处取得极小值，极小值为．当时，无极值．
ⅱ）当时，．
当时，对任意的正整数，恒有，故只需证明．
令，则，当时，，故在上单调递增，因此当时，，即成立．
故当时，有．
即．6、解：设楼房每平方米的平均综合费为元，依题意得。
则，令，即，解得。
当时，；当时，因此，当时，取得最小值，元。
答：为了使楼房每平方米的平均综合费最少，该楼房应建为15层。
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