导数的应用。
一、切线的问题：
1、求在（或过）某一点的切线方程（过一点时分两种情况：①该点在函数图象上；②该点不在图象上两种）
2、已知切线或切线的平行线（垂线）求切点或求待定系数。
二、单调区间与极值：（不等式）
1、求单调区间与极值；①求函数的导数；②求驻点：的根及的间断点（原函数的连续点）；③确定每个驻点左右的单调性，确定极值点；④求极值。（分散求导数，同分求零点）
极值点的类型：f(x)在点x0处连续：
注：极小值同。
例1、求的极值及相应的x的值。
例2、求函数的极值。
解：解得：，由得。
2、已知极值（点）求待定系数；
3、已知单调区间求待定系数（范围）；
4、已知极值（点）的范围求待定系数的范围；
三、最值：（定义域或某区间内）
1、求最值或求值域；极值与最值的区别：极值是在局部对函数值进行比较，最值是在整体区间上对函数值进行比较。①求极值；②确定函数是否有界；③比较极值及闭区间的端点的函数值。
2、证明不等式：
、直接类型；在a上。
解法一：求函数在a上的最小值，证明。
解法二：若在a上则原题得证。（若的最值点不同时）
、拓展型。3、已知最值求待定系数的值。
4、不等式解与系数的关系：
①不等式恒成立求待定系数的范围；;含参的不等式恒成立……
解法一：在a上求由求得……
解法二：参量分离法：由求得（或）求则。
②不等式有解求待定系数的范围；
③不等式无解求待定系数的范围；（见①）
四、零点，方程的根：注意：根存在的讨论方法，极限的使用。
（基础：二次方程根的分布。）
注：几个特殊的超越方程的根：①；
1、函数零点的类型：“穿越型”；“终结型”。
2、零点的存在性与个数的判定；①求单调区间；②讨论每个单调区间上函数与x轴是否有交点。
3、给出根的范围或根个数求待定系数的范围。
4、解法：解法一：
例：函数图象：
说明：单调区间内不一定有零点。
五、函数的常见类型：
题型与解法。
一、切线问题：注意在某点的切线与过某点的切线的区别与联系。
题1、求与直线垂直，与曲线相切的直线方程。
答案：。题2、函数在点处的切线方程是，求。
答案： 题3、已知函数，（1）求过点的切线方程。答案：切点为（0，1）
2）求过点的切线方程。
题4、偶函数的图象过点p（0，1）且在处的切线为。
（1）求；*（2）求的极值。
答案：；极大值1；极小值。
题5、已知函数，和直线m：，又，（1）求；（2）是否存在使m与都相切。*（3）若对≥-2的都有≤≤成立，求的范围。
答案：（1）；（2）由m与相切得，当时m与相切；（3）用分离变量法求得。
注：≤中，当时，≥
令得。易是最大值点，最大值为0，∴≥0。其他略。
二、单调区间与极值。注意：①定义域；②导数为0的点不一定是极值点；③极值点与极值要区别开。
题1、求函数的单调区间。
题2、已知。
（1）若在r上是增函数，求的范围；
（2）若在上是减函数，在上是增函数，求的值；
（3）在（2）的条件下，求证：的图象恒在的图象的下方。
答案；（1）≤0；（2）=1；（3）≥，1，故得证。
题3、已知，函数，（1）当时，求函数的单调增区间；
2）若函数在（-1，1）上单调递增，求的取值范围。
答案：（1），（2）≤0在（-1，1）上恒成立，得≥。
题4、已知函数在区间（0，1）内不单调，求的范围。答案：。
题5、设，求，（1）若函数有大于0的极值点，求的范围；
2）若函数有大于0的极值，求的范围。
答案：（1）；（2）。
题6、是定义在上的非负可导函数，且满足≤0，对，若，则必有。
a．≤ b．≤ c．≤d．≤
答案：b，是减函数。
题7、设，在上可导，且，则当时有。
a． b． c． d．
答案a：是增函数。
三、最值：题1、在[-2，2]上有最大值3，那么此函数在[-2，2]上的最小值为：答案：-37。
题2、已知函数（其中≤0，是自然对数的底数），（1）讨论的单调性；（2）求在[0，1]上的最大值。
题3、已知函数（）在区间[-1，1]上的最大值为1，最小值为-2，1）求的解析式；
2）若函数在区间[-2，2]上为减函数，求实数的取值范围。
答案：（1）；（2），，解得≥20。
题4、已知，（1）若求函数在区间上的最小值；答案：或。
（2）若，求证：对任意的，都有≥3。
题5、证明不等式：，当时恒成立。
证明：只要证明：即。因；
令易得是极小值点，得故得证。
注：不等式证法中的法二）
题6、已知，（1）求的单调区间；
（2）证明：当≥1时，≤≤恒成立。
证明：欲证不等式变为：≤≤令，易得是极小值点，∴≥得证；
令，≤0得是减函数，∴≤得证。
题7、设函数，其中1≤；1≤，（1）求证：在上为减函数；
（2）证明：≥。答案：令）
题8、（1）已知，求证：；
（2）当且≥2，求证：。
答案：（1）注意：讨论，2）法一：令。
法二（定积分法）
题9、已知函数，（1）求的最大值； 答案：≤
（2）求证：
证法： 得各式相加得。
题10、设，（1）若是函数的极值点，求的值；
（2）若函数，在处取得最大值，求的取值范围。
答案：（1）；
2）≤0恒成立，即≤0
讨论：①当≤0时成立；②当时≤0得≤。
综上所述：≤。
解法二：≤0得≤右函数是减函数，当时是最小值，得。
题11、四、零点：注意开区间端点处用极限方法讨论函数图象的变化情况：是无限增减还是趋向一个数（极限问题）
题1、已知在是增函数，在（0，1）上为减函数，（1）求的解析式；
（2）求证：当时方程有唯一解。
题2、已知函数，（1）求函数的单调区间；
（2）若关于的方程只有一个实根，求的值。
解：（1），
当≤0，增区间；当时：减区间，增区间，2）原方程变为，令，当时，当时，当时，故……
故是最大值，且当，时，故原方程只有一个实根的条件是。
题3、为何值时方程在（1，2）内至少有一实根。
答案： 题4、已知定义域为r的奇函数，当时，（1）求函数的解析式；
（2）若函数在r上恰有5个零点，求实数的以值范围。
解析：当时有两个不同的零点即可，当时是极大值点，故由得，①此时，，即在内有一个实根；②下面讨论在是总有实解：变形为：
令，，所以：是减函数，，即得，得证。
题5、已知函数。
（1）当且，时，用表示，并讨论的单调区间；
（2）若有零点，≤，且对函数定义域内一切满足≥2的实数有≥0，①求的表达式；
②当时，求函数的图象与函数的图象的交点坐标。
解析：（1），，
2），由≤得：≤…
又由≥2时≥0知的零点都在[-2，2]内，即有的两个根都在[-2，2]内，所以有。
由与得，由与得≤又由得代入得且故，； 令。
所以是增函数，且，故所求交点坐标为。
注意：特殊方程的根。
练习题。1．己知函数．
1) 求函数的定义域；
2) 求函数的增区间；（二1）
3) 是否存在实数，使不等式在时恒成立？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由．（三4①）
2、已知函数，
（ⅰ）若，求函数的极值； （二1）
ⅱ）设函数，求函数的单调区间；（二1）
（ⅲ）若在（）上存在一点，使得成立，求的取值范围．（三4②）
3、已知函数。
i）当的单调区间；（二1）
ii）若函数的最小值；（三4①）
iii）若求证：.（三2②）
4、设函数的两个极值点。
1）求a和b的值；（二2）
2）讨论的单调性；（二1）
3）设的大小。（三2①）
5、已知函数。
1）若曲线在点处的切线与直线垂直，求函数的单调区间；（一2，二1）
2）若对于都有成立，试求的取值范围；（三4①）
3）记。当时，函数在区间上有两个零点，求实数的取值范围。（四2）
6、已知，，若f(x)在处取得极值，（ⅰ试求c的值和f(x)的单调增区间；（二1，2）
（ⅱ）如图所示：若函数的图象在连续光滑，试猜想拉格朗日中值定理：即一定存在使得，利用这条性质证明：函数y=g(x)图象上任意两点的连线斜率不小于2e－4。（三1）
7、已知函数(m≥1)
1）若曲线c:在点 p处的切线与c有且只有一个公共点，求m的值。（一1，四2）
2）求证：存在单调递减区间，并求出单调递减区间的长度的取值范围。（二3，三1）
8、已知函数，，.
i）求函数的单调减区间。（二1）
ii）若函数依次在处取到极值。求的取值范围；（四2）
9、已知函数。
ⅰ)若曲线在和处的切线互相平行，求的值；（一2）
ⅱ)求的单调区间；（二1）
ⅲ)设，若对任意，均存在，使得，求的取值范围。（三4）
10、已知。
ⅰ）求函数上的最小值；（三1）
ⅱ）若对一切恒成立，求实数的取值范围；（三4①）
ⅲ）证明：对一切，都有成立。（三2①）
11、 已知，函数，．
1）判断函数在上的单调性；（二1）
2）若实数满足，求证：（三2②）
3）已知函数（其中为自然对数的底数），是否存在实数，使曲线在点处的切线与轴垂直？ 若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．（四1）
习题解答。1．解：（1）根据函数解析式得解得且．
函数的定义域是
由得函数的增区间为．
当时， 在区间上， 当时，取得最大值．．
在时恒成立．在时恒成立．
在时恒成立．
在时的最大值等于．
当时，不等式在时恒成立．
2．解：（ⅰ的定义域为， 当时，， 所以在处取得极小值1．
ⅱ），时，即时，在上，在上，所以在上单调递减，在上单调递增；，即时，在上，所以，函数在上单调递增．
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