类型一等差等比数列的通项。
例1．（2023年普通高等学校招生统一考试天津数学（理）试题（含答案））已知首项为的等比数列不是递减数列， 其前n项和为， 且s3 + a3, s5 + a5, s4 + a4成等差数列。
ⅰ) 求数列的通项公式；
ⅱ) 设， 求数列的最大项的值与最小项的值。
例2．（2023年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯word版））在公差为的等差数列中，已知，且成等比数列。
1)求； (2)若，求。
例3．（2023年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯word版含附加题））本小题满分16分。设是首项为，公差为的等差数列，是其前项和。记， ,其中为实数。
1)若，且成等比数列，证明： (
2)若是等差数列，证明：.
类型二列项相消求和。
例1（2013江西卷（理））正项数列的前项和满足：
1)求数列的通项公式an;
2)令，数列的前项和为。证明：对于任意的，都有。
例2 （2023年广东省数学（理）卷（纯word版））设数列的前项和为。已知， ,
ⅰ) 求的值；
ⅱ) 求数列的通项公式；
ⅲ) 证明：对一切正整数，有。
例3．（甘肃省河西五市部分普通高中2013届高三第二次联合考试数学（理）试题）各项均为正数的等比数列中，已知a2=8, a4=128, bn=log2an .
1) 求数列的通项公式；
2) 求数列的前n项和sn
3) 求满足不等式的正整数n的最大值。
类型三错位相减求和。
例1．（2023年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案））设等差数列的前n项和为，且，.
ⅰ)求数列的通项公式；
ⅱ)设数列前n项和为，且(为常数).令。求数列的前n项和。
例2．（2013届湖北省高考压轴卷数学（理）试题）已知等比数列满足：,且是的等差中项。(1)求数列的通项公式；(2)若，求使成立的正整数的最小值。
例3．（云南省昆明三中2013届高三高考适应性月考（三）理科数学）根据如图的程序框图，将输出的值依次分别记为；.
1）写出数列的通项公式（不要求写出求解过程）；
2）求。 类型四等差等比数列的证明。
例1．（2023年高考陕西卷（理））设是公比为q的等比数列。 (导的前n项和公式设q≠1, 证明数列不是等比数列。
例2 已知数列的首项为，其前项和为，且对任意正整数有：、、成等差数列．
1）求证：数列成等比数列；（2）求数列的通项公式．
例3．（2023年高考北京卷（理））已知是由非负整数组成的无穷数列，该数列前n项的最大值记为an,第n项之后各项， ,的最小值记为bn,dn=an-bn .
)若为2,1,4,3,2,1,4,3,,是一个周期为4的数列(即对任意n∈n*,)写出d1,d2,d3,d4的值；
)设d为非负整数，证明：dn=-d(n=1,2,3)的充分必要条件为为公差为d的等差数列；
)证明：若a1=2,dn=1(n=1,2,3,),则的项只能是1或者2,且有无穷多项为1.
类型一的相关练习。
1．（2023年高考湖北卷（理））已知等比数列满足：,.
)求数列的通项公式；
)是否存在正整数，使得？若存在，求的最小值；若不存在，说明理由。
2．（2023年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）word版含答案（已校对））等差数列的前项和为，已知，且成等比数列，求的通项式。
3.（贵州省贵阳市2013届高三适应性监测考试（二）理科数学 word版含答案）已知公差不为0的等差数列的前n项和为，且成等比数列。
i)求数列的通项公式；
ii)设，数列的最小项是第几项，并求出该项的值。
类型二相关练习。
1．（云南省玉溪一中2013届高三第四次月考理科数学）（本题12分）在等差数列中，，其前项和为，等比数列的各项均为正数，，公比为，且，.
1）求与；（2）设数列满足，求的前项和。
2．（云南省昆明一中2013届高三新课程第一次摸底测试数学理）已知数列。
i）求数列的通项公式；
ii）设数列。
3.．（2013届广东省高考压轴卷数学理试题）设数列的前项和为，且满足。
i)求证：数列为等比数列；
ⅱ)设，求证：.
类型三相关练习。
1．（云南师大附中2013届高考适应性月考卷(八)理科数学试题（详解））已知数列的前项和为，点在直线上。
1)求数列的通项；
2)令，试求数列的前项和。
2．（2013届四川省高考压轴卷数学理试题）已知数列的前项和和通项满足。
1)求数列的通项公式；
2)若数列满足，求证：
3．（2013届北京市高考压轴卷理科数学）已知数列是等差数列，是等比数列，且，.
1)求数列和的通项公式。
2)数列满足，求数列的前项和。
类型四相关练习。
1．（2013届新课标高考压轴卷（二）理科数学）已知数列的首项为，前n项和为，且。
ⅰ)证明数列是等比数列。
ⅱ)令，求函数在点处的导数，并比较与的大小。
2.（2013届山东省高考压轴卷理科数学）设数列的前项积为，且 .
ⅰ)求证数列是等差数列；
ⅱ)设，求数列的前项和。
例3．（2013届全国大纲版高考压轴卷数学理试题）(注意：在试题卷上作答无效)
设数列的前n项和为已知。
ⅰ)设证明：数列是等比数列；
ⅱ)证明：.
等差等比的通项。
例2 【答案】证明：∵是首项为，公差为的等差数列，是其前项和 ∴(1)∵ 成等比数列左边= 右边= ∴左边=右边∴原式成立 (2)∵是等差数列∴设公差为，∴带入得： ∴对恒成立 ∴由①式得：
∵由③式得： 法二：证：
(1)若，则， ,当成等比数列， ,即：,得：,又，故。
由此：, 故： (2若是等差数列，则型。
观察(※)式后一项，分子幂低于分母幂， 故有：,即，而≠0, 故。 经检验，当时是等差数列。
例3 【答案】解：()由已知条件得：,又， ,所以数列的通项或()若， ,不存在这样的正整数； 若， ,不存在这样的正整数。
例4 【答案】解：(ⅰ由已知得到： ;由(1)知，当时， ,当时，②当时，所以，综上所述：;
3.【答案】解：(i)设公差为，则有
即 解得或 (舍去),
所以 ii)
所以 当且仅当，即时取等号。
故数列的最小项是第4项，该项的值为23
列项相消。例1 【答案】(1)解：由，得。 由于是正项数列，所以。 于是时，. 综上，数列的通项。 (2)证明：由于。 则。
例2 【答案】.(1) 解： ,当时， 又， (2)解当时由① —得数列是以首项为，公差为1的等差数列。
当时，上式显然成立。 (3)证明：由(2)知， ①当时， ,原不等式成立。
②当时， ,原不等式亦成立。 ③当时， 当时，原不等式亦成立。 综上，对一切正整数，有。
答案】解：（1）∵ 等比数列的各项为正，a2=8, a4=128
设公比为q q=4 a1=2 ∴an=a1qn-1=24分)
8分）∴n≤2013 ∴n的最大值为201312分）
答案】解：（1）设的公差为。
因为所以。解得或（舍），.
故。2）由（1）可知，所以。
故。错位相减。
例1 【答案】解：(ⅰ设等差数列的首项为，公差为， 由，得， 解得， ,因此 (ⅱ由题意知： 所以时， 故， 所以， 则两式相减得整理得所以数列数列的前n项和
例2【答案】【解】⑴由，当时得， 当时得，又满足上式，所以：数列的通项公式为。
由。所以，得 相减得：
例3 【答案】解：(ⅰ因为点在直线上，所以， ,
化简得， 所以数列为等比数列，公比，由得，
故。 ⅱ)因为， 所以
得，答案】(1)设等比数列的首项为，公比为，
依题意，有
由①及，得或。
当时，②式不成立；当时，符合题意。
把代入②得，所以。
-④得 ks5u
由成立，得，即。
又当时，;
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