2023年全国各地数列高考解答题。
（2023年高考（天津理））已知{}是等差数列，其前项和为，{}是等比数列，且=,.
ⅰ)求数列{}与{}的通项公式；
ⅱ)记，证明。
（2023年高考（重庆理））(本小题满分12分，(i)小问5分，(ii)小问7分。)
设数列的前项和满足，其中。
i)求证：是首项为1的等比数列；
ii)若，求证：,并给出等号成立的充要条件。
（2023年高考（四川理））已知为正实数，为自然数，抛物线与轴正半轴相交于点，设为该抛物线在点处的切线在轴上的截距。
ⅰ)用和表示；
ⅱ)求对所有都有成立的的最小值；
ⅲ)当时，比较与的大小，并说明理由。
（2023年高考（四川理））已知数列的前项和为，且对一切正整数都成立。
ⅰ)求，的值；
ⅱ)设，数列的前项和为，当为何值时，最大？并求出的最大值。
（2023年高考（上海理））对于数集，其中，定义向量集。
若对于任意，存在，使得，则称x
具有性质p. 例如具有性质p.
1)若x>2,且具有性质p,求x的值；
2)若x具有性质p,求证：1x,且当xn>1时，x1=1;
3)若x具有性质p,且x1=1,x2=q(q为常数),求有穷数列的通。
项公式。（2023年高考（上海春））本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分。
已知数列满足。
1)设是公差为的等差数列。当时，求的值；
2)设求正整数使得一切均有。
3)设当时，求数列的通项公式。
（2023年高考（陕西理））设的公比不为1的等比数列，其前项和为，且成等差数列。
1)求数列的公比；
2)证明：对任意，成等差数列。
（2023年高考（山东理））在等差数列中，.
ⅰ)求数列的通项公式；
ⅱ)对任意，将数列中落入区间内的项的个数记为，求数列的前项和。
（2023年高考（江西理））已知数列的前n项和，且sn的最大值为8.
1)确定常数k,求an;
2)求数列的前n项和tn.
（2023年高考（江苏））设集合，.记为同时满足下列条件的集合的个数：
;②若，则；③若，则。
1)求；2)求的解析式(用表示).
（2023年高考（江苏））已知各项均为正数的两个数列和满足：,1)设，求证：数列是等差数列；
2)设，且是等比数列，求和的值。
（2023年高考（湖南理））已知数列的各项均为正数，记a(n)=a1+a2+…+an,b(n)=a2+a3+…+an+1,c(n)=a3+a4+…+an+2,n=1,2，…
1) 若a1=1,a2=5,且对任意n∈n﹡,三个数a(n),b(n),c(n)组成等差数列，求数列的通项公式。
2) 证明：数列是公比为q的等比数列的充分必要条件是：对任意，三个数a(n),b(n),c(n)组成公比为q的等比数列。
（2023年高考（湖北理））已知等差数列前三项的和为，前三项的积为。
ⅰ)求等差数列的通项公式；
ⅱ)若，成等比数列，求数列的前项和。
（2023年高考（广东理））设数列的前项和为，满足，且、、成等差数列。
ⅰ)求的值；
ⅱ)求数列的通项公式；
ⅲ)证明：对一切正整数，有。
（2023年高考（大纲理））(注意：在试卷上作答无效)
函数。定义数列如下：是过两点的直线与轴交点的横坐标。
1)证明：;
2)求数列的通项公式。
（2023年高考（北京理））设a是由个实数组成的行列的数表，满足：每个数的绝对值不大于1，且所有数的和为零。记为所有这样的数表构成的集合。
对于，记为a的第行各数之和，为a的第列各数之和；
记为，，…中的最小值。
1）对如下数表a,求的值；
2）设数表a=形如。
求的最大值；
3）给定正整数，对于所有的a∈s(2，),求的最大值。
（2023年高考（安徽理））数列满足：
)证明：数列是单调递减数列的充分必要条件是。
)求的取值范围，使数列是单调递增数列。
三、解答题。
【命题意图】本试题主要考查了等差数列与等比数列的概率、通项公式、前项和公式、数列求和等基础知识，考查化归与转化的思想方法，考查运算能力、推理论证的能力。
1)设等差数列的公差为，等比数列的公比为，由，得，由条件得方程组，故
方法二：数学归纳法。
1）当时，，故等式成立。
点评】该试题命制比较直接，没有什么隐含的条件，就是等比与等差数列的综合应用，但方法多样，第二问可以用错位相减法求解证明，也可用数学归纳法证明，给学生思维空间留有余地，符合高考命题选拔性的原则。
(1)证明：由，得，即。
因，故，得，
又由题设条件知，
两式相减得，即，
由，知，因此
综上，对所有成立，从而是首项为1,公比为的等比数列。
2)当或时，显然，等号成立。
设，且，由(1)知，所以要证的不等式化为：
即证： 当时，上面不等式的等号成立。
当时，与，()同为负；
当时， 与，()同为正；
因此当且时，总有 ()0,即
上面不等式对从1到求和得，
由此得 综上，当且时，有，当且仅当或时等号成立。
[解析](1)由已知得，交点a的坐标为，对则抛物线在点a处的切线方程为
2)由(1)知f(n)=,则
即知，对于所有的n成立，特别地，取n=2时，得到a≥ [**：学科网]
当， 2n3+1
当n=0,1,2时，显然
故当a=时，对所有自然数都成立
所以满足条件的a的最小值是。
3)由(1)知，则，
下面证明：
首先证明：当0设函数
当 故g(x)在区间(0,1)上的最小值g(x)min=g
所以，当0由0
点评]本小题属于高档题，难度较大，需要考生具备扎实的数学基础和解决数学问题的能力。主要考查了导数的应用、不等式、数列等基础知识；考查了思维能力、运算能力、分析问题与解决问题的能力和创新意识能力；且又深层次的考查了函数、转换与化归、特殊与一般等数学思维方法。
[解析]取n=1,得 ①
取n=2,得 ②
又②-①得 ③
1)若a2=0, 由①知a1=0,
2)若a2, ④
由①④得：
2)当a1>0时，由(i)知，
当 , 2+)an-1=s2+sn-1
所以，an= 所以 令
所以，数列是以为公差，且单调递减的等差数列。
则 b1>b2>b3>>b7=
当n≥8时，bn≤b8=[**：z|xx|
所以，n=7时，tn取得最大值，且tn的最大值为
t7= 点评]本小题主要从三个层面对考生进行了考查。 第一，知识层面：考查等差数列、等比数列、对数等基础知识；第二，能力层面：
考查思维、运算、分析问题和解决问题的能力；第三，数学思想：考查方程、分类与整合、化归与转化等数学思想。
[解](1)选取，y中与垂直的元素必有形式
所以x=2b,从而x=4
2)证明：取。设满足。
由得，所以、异号。
因为-1是x中唯一的负数，所以、中之一为-1,另一为1,
故1x [**：z§xx§
假设，其中，则。
选取，并设满足，即，
则、异号，从而、之中恰有一个为-1.
若=-1,则，矛盾；
若=-1,则，矛盾。
所以x1=1
3)[解法一]猜测，i=1, 2, ,n
记，k=2, 3, ,n.
先证明：若具有性质p,则也具有性质p.
任取，、.当、**现-1时，显然有满足；
当且时，、≥1.
因为具有性质p,所以有，、,使得，
从而和中有一个是-1,不妨设=-1.
假设且，则。由，得，与
矛盾。所以。从而也具有性质p
现用数学归纳法证明：,i=1, 2, ,n.
当n=2时，结论显然成立；
数列高考解答题题型分析
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重庆理21已知各项均为正数的数列的前n项和满足，且。求的通项公式 设数列满足，并记为的前项和，求证。解 由，解得或，由假设，因此。又由，得或，因，故不成立，因此，从而是公差为3，首项为2的等差数列，故的通项为。证法一 由可解得 从而。因此。令，则。因，故。特别的。从而，即。证法二 同证法一求得bn及...
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