2012高考数学解题技巧。
解答题答题模板。
数学解答题是高考数学试卷中的一类重要题型，通常是高考的把关题和压轴题，具有较好的区分层次和选拔功能．目前的高考解答题已经由单纯的知识综合型转化为知识、方法和能力的综合型解答题．在高考考场上，能否做好解答题，是高考成败的关键，因此，在高考备考中学会怎样解题，是一项重要内容．本节以著名数学家波利亚的《怎样解题》为理论依据，结合具体的题目类型，来谈一谈解答数学解答题的一般思维过程、解题程序和答题格式，即所谓的“答题模板”．
模板1 三角函数的单调性及求值问题。
例1 已知函数f(x)＝cos2(x＋)，g(x)＝1＋sin 2x.
1)设x＝x0是函数y＝f(x)图象的一条对称轴，求g(x0)的值；
2)求函数h(x)＝f(x)＋g(x)的单调递增区间．
思维启迪。(1)由x＝x0是y＝f(x)的一条对称轴知f(x0)是f(x)的最值，从而得2x0＋＝kπ(k∈z)，即x0＝－(k∈z)．
2)化简h(x)＝f(x)＋g(x)为h(x)＝asin(ωx＋φ)或h(x)＝acos(ωx＋φ)的形式．
3)根据正弦或余弦函数求单调递增区间。
规范解答示例。
解 (1)由题设知f(x)＝[1＋cos(2x＋)]
因为x＝x0是函数y＝f(x)的图象的一条对称轴，所以2x0＋＝kπ(k∈z)，即2x0＝kπ－(k∈z)．
所以g(x0)＝1＋sin 2x0＝1＋sin(kπ－)
当k为偶数时，g(x0)＝1＋sin(－)1－＝；
当k为奇数时，g(x0)＝1＋sin＝1＋＝.
2)h(x)＝f(x)＋g(x)＝[1＋cos(2x＋)]1＋sin 2x
[cos(2x＋)＋sin 2x]＋＝cos 2x＋sin 2x)＋
sin(2x＋)＋
当2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈z)，即kπ－≤x≤kπ＋(k∈z)时，函数h(x)＝sin(2x＋)＋是增函数．
故函数h(x)的单调递增区间是[kπ－，kπ＋]k∈z).
构建答题模板。
第一步：三角函数式的化简，一般化成y＝asin(ωx＋φ)h的形式或y＝acos(ωx＋φ)h的形式．
如：f(x)＝cos(2x＋)＋h(x)＝sin(2x＋)＋
第二步：由三角函数值求角；由角求三角函数值．
第三步：由sin x、cos x的单调性，将“ωx＋φ”看作一个整体，转化为解不等式问题．
第四步：明确规范表述结论．
第五步：反思回顾．查看关键点、易错点及解题规范．
如本题中，由x0求g(x0)时，由于x0中含有变量k，应对k的奇偶进行讨论。
模板2 解析几何中的探索性问题。
例2 已知定点c(－1,0)及椭圆x2＋3y2＝5，过点c的。
动直线与椭圆相交于a，b两点．
1)若线段ab中点的横坐标是－，求直线ab的方程；
2)在x轴上是否存在点m常数？若存在，求出点m的坐标；若不存在，请说明理由．
思维启迪。1)设过c(－1,0)的直线方程y＝k(x＋1)，利用待定系数法求k.
2）从假设存在点m（m,0）出发去求若能找到一个m值使为常数，即假设正确，否则不正确．
规范解答示例。
解 (1)依题意，直线ab的斜率存在，设直线ab的方程为y＝k(x＋1)，将y＝k(x＋1)代入x2＋3y2＝5，消去y整理得(3k2＋1)x2＋6k2x＋3k2－5＝0.
设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则。
由线段ab中点的横坐标是－，得＝－＝解得k＝±，适合①.
所以直线ab的方程为x－y＋1＝0或x＋y＋1＝0.
2)假设在x轴上存在点m（m，0），使为常数。
(ⅰ)当直线ab与x轴不垂直时，由(1)知。
x1＋x2＝－，x1x2＝.
所以＝(x1－m)(x2－m)＋y1y2＝(x1－m)(x2－m)＋k2(x1＋1)(x2＋1)
(k2＋1)x1x2＋(k2－m)(x1＋x2)＋k2＋m2.
将③代入，整理得＝＋m2
＋m2m2＋2m－－.
构建答题模板。
第一步：假设结论存在．
第二步：以存在为条件，进行推理求解．
第三步：明确规范表述结论．若能推出合理结果，经验证成立即可肯定正确；若推出矛盾，即否定假设．
第四步：反思回顾．查看关键点，易错点及解题规范．
如本题中第(1)问容易忽略δ>0这一隐含条件．
第(2)问易忽略直线ab与x轴垂直的情况。
模板3 由数列的前n项和sn与通项an的关系求通。
项an例3 已知数列的各项均为正数，sn为其前n项和，对于任意的n∈n*，满足关系式2sn＝3an－3.
1)求数列的通项公式；
2)设数列的通项公式是bn＝，前n项和为tn，求证：对于任意的正整数n，总有tn<1.
思维启迪(1)求出数列的递推关系，由递推关系求通项．(2)化简bn，裂项求和。
规范解答示例。
1)解 ①当n＝1时，由2sn＝3an－3得，2a1＝3a1－3，a1＝3.
当n≥2时，由2sn＝3an－3得，2sn－1＝3an－1－3.
两式相减得：2(sn－sn－1)＝3an－3an－1，即2an＝3an－3an－1，an＝3an－1，又∵a1＝3≠0，∴是等比数列，∴an＝3n.
验证：当n＝1时，a1＝3也适合an＝3n.
的通项公式为an＝3n.
2)证明 ∵bn＝＝
＝－，tn＝b1＋b2＋…＋bn
构建答题模板。
第一步：令n＝1，由sn＝f(an)求出a1.
第二步：令n≥2，构造an＝sn－sn－1，用an代换sn－
sn－1(或用sn－sn－1代换an，这要结合题目特点)，由递推关系求通项．
第三步：验证当n＝1时的结论适合当n≥2时的结论．
第四步：写出明确规范的答案．
第五步：反思回顾．查看关键点、易错点及解题规范．本题的易错点，易忽略对n＝1和n≥2分两类进行讨论，同时忽视结论中对二者的合并。
模板4 函数的单调性、最值、极值问题。
例4 (2010·天津)已知函数f(x)＝ax3－x2＋1(x∈r)，其中a>0.
1)若a＝1，求曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；
2)若在区间[－，上，f(x)>0恒成立，求a的取值。
范围．思维启迪(1)知解析式和切点求切线方程，先求斜率，用点斜式方程求切线方程．
2）根据导数求函数的参数。求导→求导函数的零点→确定导函数在区间中的正、负→确定函数中的参数范围。
规范解答示例。
解 (1)当a＝1时，f(x)＝x3－x2＋1，f(2)＝所以曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y－3＝6(x－2)，即y＝6x－9.
2)f′(x)＝3ax2－3x＝3x(ax－1)．
令f′(x)＝0，解得x＝0或x＝.
以下分两种情况讨论：
1 若0况如下表：
当x∈[－时，f(x)>0等价于即。
解不等式组得－5②若a>2，则0<<.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况。
如下表：当x∈[－时，f(x)>0等价于。
即。解不等式组得综合①②，可知a取值范围为0构建答题模板。
第一步：确定函数的定义域．如本题函数的定义域为r.
第二步：求f(x)的导数f′(x).
第三步：求方程f′(x)＝0的根。
第四步：利用f′(x)＝0的根和不可导点的x的值从小到大顺次将定义域分成若干个小开区间，并列出**。
第五步：由f′(x)在小开区间内的正、负值判断f(x)在小开区间内的单调性。
第六步：明确规范地表述结论。
第七步：反思回顾．查看关键点、易错点及解题规范．如本题中f′(x)＝0的根为x1＝0，x2＝.要确定x1，x2与区间端点值的大小，就必须对a进行分类讨论．这就是本题的关键点和易错点。
规律方法总结。
高考数学解答题虽然灵活多变，但所考查数学知识、方法，基本数学思想是不变的，题目形式的设置是相对稳定的，因而本讲结合高考的重点，热点介绍了“四大答题模板”，目的是给考生在考前一个回顾如何规范答题的辅助性材料．重点是思维过程、规范解答、反思回顾．结合着具体题型给出了答题程序．希望能够举一反三，对考生答题有所帮助。
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