2019级概率解答题练习

三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

1．某公司招聘员工，指定三门考试课程，有两种考试方案。

方案一：考试三门课程，至少有两门及格为考试通过；

方案二：在三门课程中，随机选取两门，这两门都及格为考试通过。

假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别是，且三门课程考试是否及格相互之间没有影响。

（ⅰ）分别求该应聘者用方案一和方案二时考试通过的概率；

（ⅱ）试比较该应聘者在上述两种方案下考试通过的概率的大小。（说明理由）

2．在添加剂的搭配使用中，为了找到最佳的搭配方案，需要对各种不同的搭配方式作比较。在试制某种牙膏新品种时，需要选用两种不同的添加剂。现有芳香度分别为0，1，2，3，4，5的六种添加剂可供选用。

根据试验设计原理，通常首先要随机选取两种不同的添加剂进行搭配试验。用表示所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和。

ⅰ）写出的分布列；（以列表的形式给出结论，不必写计算过程）

ⅱ）求的数学期望。（要求写出计算过程或说明道理）

3．某大夏的一部电梯从底层出发后只能在第层可以停靠若该电梯在底层载有5位乘客，且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概率均为，用表示这5位乘客在第20层下电梯的人数，求：

（i）随机变量的分布列；（ii）随机变量的期望；

4．某工厂生产甲、乙两种产品，甲产品的一等品率为80%，二等品率为20%；乙产品的一等品率为90%，二等品率为10%。生产1件甲产品，若是一等品则获得利润4万元，若是二等品则亏损1万元；生产1件乙产品，若是一等品则获得利润6万元，若是二等品则亏损2万元。设生产各种产品相互独立。

1）记x（单位：万元）为生产1件甲产品和1件乙产品可获得的总利润，求x的分布列；

2）求生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率。

5．某商场举行****活动，**规则是：从装有9个白球，1个红球的箱子中每次随机地摸出一个球，记下颜色后放回，摸出一个红球可获得奖金10元；摸出2个红球可获得奖金50元，现有甲，乙两位顾客，规定：甲摸一次，乙摸两次，令表示甲，乙摸球后获得的奖金总额。

求：（1）的分布列（2）的的数学期望。

6．甲、乙两人在罚球线投球命中的概率分别为，投中得1分，投不中得0分。

ⅰ）甲、乙两人在罚球线各投球一次，求两人得分之和ξ的数学期望；

ⅱ）甲、乙两人在罚球线各投球二次，求这四次投球中至少一次命中的概率；

7．从某批产品中，有放回地抽取产品二次，每次随机抽取1件，假设事件：“取出的2件产品中至多有1件是二等品”的概率

1）求从该批产品中任取1件是二等品的概率；

2）若该批产品共100件，从中任意抽取2件，表示取出的2件产品中二等品的件数，求的分布列

8．某项选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考试，否则即被淘汰，已知某选手能正确回答第。

一、二、三轮的问题的概率分别为、、，且各轮问题能否正确回答互不影响

ⅰ）求该选手被淘汰的概率；

ⅱ）该选手在选拔中回答问题的个数记为ξ，求随机变量ξ的分布列与数数期望（注：本小题结果可用分数表示）

9．厂家在产品出厂前，需对产品做检验，厂家将一批产品发给商家时，商家按合同规定也需随机抽取一定数量的产品做检验，以决定是否接收这批产品

ⅰ）若厂家库房中的每件产品合格的概率为0 8，从中任意取出4件进行检验求至少有1件是合格品的概率；

ⅱ）若厂家发给商家20件产品，其中有3件不合格，按合同规定该商家从中任取2件，都进行检验，只有2件都合格时才接收这批产品，否则拒收求该商家可能检验出不合格产品数的分布列及期望，并求该商家拒收这批产品的概率

10．袋子a和b中装有若干个均匀的红球和白球，从a中摸出一个红球的概率是，从b中摸出一个红球的概率为p．

(ⅰ)从a中有放回地摸球，每次摸出一个，有3次摸到红球即停止．(i)求恰好摸5次停止的概率；(ii)记5次之内(含5次)摸到红球的次数为，求随机变量的分布率及数学期望e．

(ⅱ)若a、b两个袋子中的球数之比为12，将a、b中的球装在一起后，从中摸出一个红球的概率是，求p的值．

11.某同学参加3门课程的考试。假设该同学第一门课程取得优秀成绩的概率为，第。

二、第三门课程取得优秀成绩的概率分别为， (且不同课程是否取得优秀成绩相互独立。记ξ为该生取得优秀成绩的课程数，其分布列为。

ⅰ)求该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率；(ⅱ求，的值；(ⅲ求数学期望ξ。