概率统计(随机变量及其分布列本小题满分12分)
2017全国1.理数。19）（12分）
为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：cm）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布．
1）假设生产状态正常，记x表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在之外的零件数，求及的数学期望；
2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．
ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性；
ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：
经计算得，，其中为抽取的第个零件的尺寸，．
用样本平均数作为的估计值，用样本标准差作为的估计值，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除之外的数据，用剩下的数据估计和（精确到0.01）．
附：若随机变量服从正态分布，则，．
解析】：（1）由题意可得，x满足二项分布，因此可得。
2）由（1）可知出现在之外的零件的概率为0.0408，如此小的概率在这一天的生产过程中发生了，有理由相信出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查。
由题意可得，故而在范围外存在9.22这一个数据，因此需要进行检查。此时：
，2016全国1.理数。19）（本小题满分12分）某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰。
机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元。在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元。现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：
以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，表示购买2台机器的同时购买的易损零件数。
i）求的分布列；
）若要求，确定的最小值；
）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在与之中选其一，应选用哪个？
答案】（i）见解析（）19（）
解析】试题分析：（i）先确定x的取值分别为16,17,18,18,20,21,22,,再用相互独立事件概率模型求概率，然后写出分布列；（）通过频率大小进行比较；（）分别求出n=9,n=20的期望，根据时所需费用的期望值小于时所需费用的期望值，应选。
所以的分布列为。
ⅱ）由（ⅰ）知， ,故的最小值为19.
ⅲ）记表示2台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元）.
当时， 当时，可知当时所需费用的期望值小于时所需费用的期望值，故应选。
2015全国1.理数。19）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：
千元）对年销售量y（单位：t）和年利润z（单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费x1和年销售量y1（i=1,2，··8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值。
表中w1 =1, ，
ⅰ）根据散点图判断，y=a+bx与y=c+d哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）
ⅱ）根据（ⅰ）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；
ⅲ）已知这种产品的年利率z与x、y的关系为z=0.2y-x.根据（ⅱ）的结果回答下列问题：
i） 年宣传费x=49时，年销售量及年利润的预报值是多少？
ii） 年宣传费x为何值时，年利率的预报值最大？
附：对于一组数据，，…其回归线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：
答案】（ⅰ适合作为年销售关于年宣传费用的回归方程类型（ⅱ）46.24
2014全国1.理数。18）（本小题满分12分）
从某企业的某种产品中抽取件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：
（1）求这件产品质量指标值的样本平均数和样本方差（同一组数据用该区间的中点值作代表）；
2）由频率分布直方图可以认为，这种产品的质量指标值服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差。
（i）利用该正态分布，求；
（ii）某用户从该企业购买了件这种产品，记表示这件产品中质量指标值位于区间的产品件数。利用（i）的结果，求。
附：. 若，则，.
解：（ⅰⅱ）（因为服从正态分布， ，所以。
所以。又若～，则，所以。
（ⅱ）因为表示这100件产品中质量指标值位于区间（187.8,212.2）的产品件数，服从二项分布，即～，所以。
2013全国1.理数。 19）（本小题满分12分）
一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为n.如果n=3，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n=4，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验。
假设这批产品的优质品率为50%，即取出的每件产品是优质品的概率都为，且各件产品是否为优质品相互独立。
1）求这批产品通过检验的概率；
2）已知每件产品检验费用为100元，凡抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为x（单位：元），求x的分布列及数学期望。
解析】．设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件a，第一次取出的4件产品中全为优质品为事件b,第二次取出的4件产品都是优质品为事件c，第二次取出的1件产品是优质品为事件d，这批产品通过检验为事件e，根据题意有e=(ab)∪(cd),且ab与cd互斥，p(e)=p(ab)+p(cd)=p(a)p(b|a)+p(c)p(d|c)=+6分。
ⅱ）x的可能取值为400,500,800，并且。
p(x=400)=1-=，p(x=500)=，p(x=800)==x的分布列为。
……10分。
ex=400×+500×+800×=506.2512分。
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