2013-2024年新课标i卷高考理科数学解答题。
立体几何(本小题满分12分)
1. 【2017，18】如图，在四棱锥p-abcd中，ab//cd，且。
（1）证明：平面pab⊥平面pad；
2）若pa=pd=ab=dc,,求二面角a-pb-c的余弦值．
1）证明：∵，
又∵，∴又∵，、平面。
平面，又平面。
平面平面。2）取中点，中点，连接，
四边形为平行四边形∴
由（1）知，平面。
平面，又、平面∴，
又∵，∴、、两两垂直。
以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系。
设，∴、设为平面的法向量。
由，得。令，则，，可得平面的一个法向量，∴
又知平面，平面，又。
平面。即是平面的一个法向量，
由图知二面角为钝角，所以它的余弦值为。
2016，18】 如图，在以为顶点的五面体中，面为正方形，，且二面角与二面角都是．
（ⅰ）证明：平面平面；
（ⅱ）求二面角的余弦值．
解析】： 为正方形，∴，
面，面，∴平面平面。
由知，，平面，平面。
平面，平面。
面面，∴四边形为等腰梯形。
以为原点，如图建立坐标系，设， ，设面法向量为，，即，，
设面法向量为，.即，设二面角的大小为。
二面角的余弦值为。
2015，18】如图，四边形为菱形，，是平面同一侧的两点，⊥平面，⊥平面，，．
）证明：平面⊥平面；
）求直线与直线所成角的余弦值．，∴eg⊥fg，ac∩fg=g，∴eg⊥平面afc，eg面aec，∴平面afc⊥平面aec. …6分。
2014，19】如图，三棱柱中，侧面为菱形，.
ⅰ）证明：;
ⅱ）若，, 求二面角的余弦值。
答案】（ⅰ详见解析；（ⅱ
解析】试题分析：（ⅰ由侧面为菱形得，结合得平面，故，且为的中点．故垂直平分线段，则；（ⅱ求二面角大小，可考虑借助空间直角坐标系．故结合已知条件寻找三条两两垂直相交的直线是解题关键．当且时，三角形为等腰直角三角形，故，结合已知条件可判断，故，从而两两垂直．故以为坐标原点，的方向为轴正方向建立空间直角坐标系，用坐标表示相关点的坐标．分别求半平面和的法向量，将求二面角问题转化为求法向量夹角处理．
试题解析：（）连接，交于，连接．因为侧面为菱形，所以，且为与的中点．又，所以平面，故．又，故．
）因为，且为的中点，所以，又因为，．故，从而两两垂直．以为坐标原点，的方向为轴正方向，为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系．因为，所以为等边三角形．又，则，，，
设是平面的法向量，则即所以可取．
设是平面的法向量，则同理可取．
则．所以二面角的余弦值为．
考点定位】1、直线和平面垂直的判定和性质；2、二面角求法．
2013，18】如图，三棱柱abc－a1b1c1中，ca＝cb，ab＝aa1，∠baa1＝60°.
1)证明：ab⊥a1c；
2)若平面abc⊥平面aa1b1b，ab＝cb，求直线a1c与平面bb1c1c所成角的正弦值．
1)证明：取ab的中点o，连结oc，oa1，a1b.
因为ca＝cb，所以oc⊥ab.
由于ab＝aa1，∠baa1＝60°，故△aa1b为等边三角形，所以oa1⊥ab.
因为oc∩oa1＝o，所以ab⊥平面oa1c.
又a1c平面oa1c，故ab⊥a1c.
2)解：由(1)知oc⊥ab，oa1⊥ab.
又平面abc⊥平面aa1b1b，交线为ab，所以oc⊥平面aa1b1b，故oa，oa1，oc两两相互垂直．
以o为坐标原点，的方向为x轴的正方向，||为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系o－xyz.
由题设知a(1,0,0)，a1(0，，0)，c(0,0，)，b(－1,0,0)．
则＝(1,0，)，1，，0)，＝0，，)
设n＝(x，y，z)是平面bb1c1c的法向量，则即可取n＝(，1，－1)．
故cos〈n，〉＝
所以a1c与平面bb1c1c所成角的正弦值为。
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