数列专练·作业(二十六)
1．(2014·南京调研)(本小题满分12分)
已知单调递减的等比数列满足a2＋a3＋a4＝，且a3＋是a2，a4的等差中项．
1)求数列的通项公式；
2)若数列的前n项和为sn，求满足不等式《成立的所有正整数m，n组成的有序实数对(m，n)．
解析 (1)依题意，有2(a3＋)＝a2＋a4，代入a2＋a3＋a4＝，得a3＋2(a3＋)＝解得a3＝，所以a2＋a4＝.(3分)
设等比数列的公比为q，则。
解得或(5分)
又单调递减，所以q＝，a1＝2，于是an＝(n∈n*)．6分)
2)由(1)知，an＝(n∈n*)，所以sn＝＝3(1－)．7分)
则＝＝1－＝1－.
因为<＝1－，所以》.又》0，所以》0(m∈n*)，所以m＝1,2.(10分)
当m＝1时，由》，解得n＝1；
当m＝2时，由》，解得n＝1,2.
综上知，满足不等式的所有正整数m，n组成的有序实数对为(1,1)，(2,1)，(2,2)．(12分)
2．(2014·川中名校联合诊断)(本小题满分12分)
在数列中，a1＝1,3anan－1＋an－an－1＝0(n≥2)．数列满足bn＝an·an＋1，tn为数列的前n项和．
1)证明：数列{}是等差数列；
2)若对任意的n∈n*，不等式λtn解析 (1)当n≥2时，由3anan－1＋an－an－1＝0，得3＋－＝0.
即－＝3，而＝1，所以{}是以1为首项，3为公差的等差数列．(4分)
2)由(1)知，＝3n－2，所以bn＝an·an＋1＝＝(
所以tn＝[(17分)
当n为偶数时，要使不等式λtn即需不等式λ<＝3n＋＋37恒成立．
设f(n)＝3n＋＋37，f′(n)＝3－，则当n＝2时，f(n)＝3n＋＋37取得最小值49，所以λ<49.(10分)
当n为奇数时，要使不等式λtn即需不等式λ<＝3n－－35恒成立．
又f(n)＝3n－－35随着n的增大而增大，所以当n＝1时，f(n)＝3n－－35有最小值－44，所以λ<－44.(11分)
综上所述，实数λ的取值范围为(－∞44)．(12分)
3．(2014·临川模拟)(本小题满分12分)
设数列的前n项和为sn，a1＝2，点(sn＋1，sn)在直线－＝1上，其中n∈n*.
1)求数列的通项公式；
2)设tn＝＋－2，证明：≤t1＋t2＋t3＋…＋tn<3.
解析 (1)∵点(sn＋1，sn)在直线－＝1上，－＝1.
{}构成以＝a1＝2为首项，1为公差的等差数列．
＝2＋(n－1)×1＝n＋1，∴sn＝n2＋n.
当n≥2时，an＝sn－sn－1＝n2＋n－(n－1)2－(n－1)＝2n.
又a1＝2满足上式，∴an＝2n(n∈n*)．6分)
2)∵sn＝n2＋n，∴＝
tn＝＋－2＝1－＋1＋－2＝－.
当n∈n*时，tn＝>0，t1＋t2＋t3＋…＋tn≥t1＝，当n＝1时取等号．
又t1＋t2＋t3＋…＋tn＝2[(13－－<3，≤t1＋t2＋t3＋…＋tn<3.(12分)
4．(2014·广东)(本小题满分14分)
设数列的前n项和为sn，满足sn＝2nan＋1－3n2－4n，n∈n*，且s3＝15.
1)求a1，a2，a3的值；
2)求数列的通项公式．
思路 (1)反复利用递推公式sn＝2nan＋1－3n2－4n，sn－sn－1＝an(n≥2)进行递推；
2)由前三项a1，a2，a3归纳猜想出数列的通项公式，再用数学归纳法证明．
解析 (1)由题意知s2＝4a3－20，s3＝s2＋a3＝5a3－20.(2分)
又s3＝15，∴a3＝7，s2＝4a3－20＝8.
又s2＝s1＋a2＝(2a2－7)＋a2＝3a2－7，a2＝5，a1＝s1＝2a2－7＝3.
综上知，a1＝3，a2＝5，a3＝7.(4分)
2)由(1)猜想an＝2n＋1，下面用数学归纳法证明．
当n＝1时，结论显然成立；(6分)
假设当n＝k(k≥1)时，ak＝2k＋1，则sk＝3＋5＋7＋…＋2k＋1)＝＝k(k＋2)．(8分)
又sk＝2kak＋1－3k2－4k，k(k＋2)＝2kak＋1－3k2－4k.
解得2ak＋1＝4k＋6.(12分)
ak＋1＝2(k＋1)＋1，即当n＝k＋1时，结论成立．
由①②知，n∈n*，an＝2n＋1.(14分)
5．(本小题满分14分)
各项为正数的数列的前n项和为sn，且满足sn＝
a＋an＋(n∈n*)．
1)求an；
2)设函数f(n)＝cn＝f(2n＋4)(n∈n*)，求数列的前n项和tn.
解析 (1)由sn＝a＋an＋，①
得，当n≥2时，sn－1＝a＋an－1＋.②
由①－②化简，得(an＋an－1)(an－an－1－2)＝0.(3分)
又∵数列各项为正数，∴当n≥2时，an－an－1＝2.
故数列成等差数列，公差为2.
又a1＝s1＝a＋a1＋，解得a1＝1，∴an＝2n－1.(6分)
2)由分段函数f(n)＝可以得到。
c1＝f(6)＝f(3)＝a3＝5，c2＝f(8)＝f(4)＝f(2)＝f(1)＝a1＝1.(8分)
当n≥3，n∈n*时，cn＝f(2n＋4)＝f(2n－1＋2)＝f(2n－2＋1)＝2(2n－2＋1)－1＝2n－1＋1.(10分)
故当n≥3时，tn＝5＋1＋(22＋1)＋(23＋1)＋…2n－1＋1)＝6＋＋(n－2)＝2n＋n.
tn＝(14分)
6．(本小题满分15分)
已知数列的相邻两项an，an＋1是关于x的方程x2－2nx＋bn＝0的两根，且a1＝1.
1)求证：数列是等比数列；
2)求数列的前n项和sn；
3)设函数f(n)＝bn－t·sn(n∈n*)，若f(n)>0对任意的n∈n*都成立，求实数t的取值范围．
解析 (1)∵an＋an＋1＝2n，an＋1－·2n＋1＝－(an－·2n)．
a1－·2＝≠0，∴＝1.
是首项为，公比为－1的等比数列，且an＝[2n－(－1)n]．(5分)
2)由(1)得sn＝a1＋a2＋…＋an
(2＋22＋…＋2n)－[1)＋(1)2＋…＋1)n]
[2n＋1－2－]
(10分)3)∵bn＝an·an＋1，bn＝[2n－(－1)n][2n＋1－(－1)n＋1]
[22n＋1－(－2)n－1]．
bn－t·sn>0，[22n＋1－(－2)n－1]－t·[2n＋1－2－]>0.
当n为奇数时，22n＋1＋2n－1)－(2n＋1－1)>0.
t< (2n＋1)对任意的n为奇数都成立，∴t<1.(12分)
当n为偶数时，22n＋1－2n－1)－(2n＋1－2)>0.
(22n＋1－2n－1)－(2n－1)>0.
t< (2n＋1＋1)对任意的n为偶数都成立，∴t<.(14分)
综上所述，实数t的取值范围为t<1.(15分)
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