小题专练·作业(十五)
一、选择题。
1．(2014·湖北名校联考)若在区间[0，π]上随机取一个数x，则事件“sinx≥cosx”发生的概率为( )
ab. c. d.
答案 c解析由题知，sinx－cosx＝sin(x－)≥0，x－∈[所以x－∈[0，]，即x∈[，故事件“sinx≥cosx”发生的概率p＝＝.
2．(2014·九江统考)在如图所示的茎叶图中，若甲组数据的众数为14，则乙组数据的中位数为( )
a．6 b．8
c．10 d．14
答案 c解析因为甲组数据的众数为14，所以x＝y＝4，乙组数据为2,2,6,14,21,25，所以乙组数据的中位数为×(6＋14)＝10.故选c.
3．(2014·湖北八校联考)下列说法错误的是( )
a．回归直线过样本点的中心(，)
b．线性回归方程对应的直线＝x＋至少经过其样本数据点(x1，y1)，(x2，y2)，…xn，yn)中的一个点。
c．在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高。
d．在回归直线方程＝0.2x＋0.8中，解释变量x每增加1个单位，**变量平均增加0.2个单位。
答案 b解析回归直线必过样本点的中心，a正确；线性回归方程对应的直线＝x＋一定经过样本点的中心(，)但不一定经过样本数据点，所以b错误；由残差分析可知，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高，c正确；对于选项d，用x＋1代替x，得＝0.2(x＋1)＋0.8，与＝0.
2x＋0.8相减可得，x每增加1个单位，**变量平均增加0.2个单位，d正确．
4．(2014·合肥四校联考)甲、乙分别从正方体的8个顶点中任选四个共面的点，则甲、乙所选的四个共面的点所在的平面垂直的概率为( )
a. b.
c. d.
答案 c解析甲选四个共面的点有12种选法，乙选四个共面的点有12种选法，所以总的基本事件个数为12×12＝144.它们分别组成的两个平面垂直的基本事件个数有6×6＋3×6＝54，所以所求的概率为p＝＝.
5．(2014·江西重点中学联考)某校举行安全知识测试约有2 000人参加，其测试成绩ξ～n(80，σ2)(σ0，试卷满分100分)，统计结果显示p(ξ≤65)＝0.3，则此次安全知识测试成绩达到优秀(不低于95分)的学生人数约为( )
a．200 b．300
c．400 d．600
答案 d解析由正态分布密度曲线的对称性可得p(ξ≥95)＝p(ξ≤65)＝0.3，∴测试成绩达到优秀的学生人数约为0.3×2 000＝600，故选d.
6．(2014·广州综合测试一)某中学从某次考试成绩中抽取若干名学生的分数，并绘制成如图所示的频率分布直方图，样本数据分组为[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]．若用分层抽样的方法从样本中抽取分数在[80,100]范围内的数据16个，则其中分数在[90,100]范围内的样本数据有( )
a．5个 b．6个。
c．8个 d．10个。
答案 b解析 ∵[80,90)的频率为0.025×10＝0.25，[90,100]的频率为0.015×10＝0.15，∴在[90,100]范围内抽取16×＝6个样本数据．
7．(2014·湖北)随机掷两枚质地均匀的骰子，它们向上的点数之和不超过5的概率记为p1，点数之和大于5的概率记为p2，点数之和为偶数的概率记为p3，则( )
a．p1c．p1答案 c
解析利用古典概型求各个事件的概率，再比较大小．
随机掷两枚质地均匀的骰子，所有可能的结果共有36种．
事件“向上的点数之和不超过5”包含的基本事件有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(4,1)共10种，其概率p1＝＝.事件“向上的点数之和大于5”与“向上的点数之和不超过5”是对立事件，所以“向上的点数之和大于5”的概率p2＝.因为朝上的点数之和不是奇数就是偶数，所以“点数之和为偶数”的概率p3＝.
故p18．(2014·陕西)设样本数据x1，x2，…，x10的均值和方差分别为1和4，若yi＝xi＋a(a为非零常数，i＝1,2，…，10)，则y1，y2，…，y10的均值和方差分别为( )
a．1＋a,4 b．1＋a,4＋a
c．1,4 d．1,4＋a
答案 a解析利用样本的均值、方差公式求解．
1，yi＝xi＋a，所以y1，y2，…，y10的均值为1＋a，方差不变仍为4.故选a.
9．(2014·江西重点盟校联考)给出以下四个命题：
在匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样；
两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于1；
某项测量结果ξ服从正态分布n(1，σ2)，p(ξ≤5)＝0.81，则p(ξ≤3)＝0.19；
对于两个分类变量x与y的随机变量k2的观测值k来说，k越小，判断“x与y有关系”的把握程度越大．其中真命题的个数为( )
a．4 b．3
c．2 d．1
答案 c解析在匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是系统抽样，故①为假命题；对于两个分类变量x与y的随机变量k2的观测值k来说，k越小，判断“x与y有关系”的把握程度越小，故④为假命题；②③都为真命题．所以真命题的个数为2，故选c.
10．(2014·郑州质量**)某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的**进行试销，得到如下数据：
由表中数据，求得线性回归方程为＝－4x＋.若在这些样本点中任取一点，则它在回归直线左下方的概率为( )
a. b.
c. d.
答案 b解析由表中数据得＝6.5，＝80，由＝－4＋，得＝106，故线性回归方程为＝－4x＋106.将(4,90)，(5,84)，(6,83)，(7,80)，(8,75)，(9,68)分别代入回归方程可知有6个基本事件，因84<－4×5＋106＝86,68<－4×9＋106＝70，故(5,84)和(9,68)在直线的左下方，满足条件的只有2个，故所求概率为＝，故选b.
11．(2014·荆州模拟)被戏称为“最牛违建”的北京“楼顶别墅”已被拆除．某**通过随机询问100名性别不同的居民对此的看法，得到如下的列联表：
附：k2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.
参照附表，则由此可知( )
a．在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“是否认为拆除太可惜了与性别有关”
b．在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“是否认为拆除太可惜了与性别无关”
c．有90%以上的把握认为“是否认为拆除太可惜了与性别有关”
d．有90%以上的把握认为“是否认为拆除太可惜了与性别无关”
答案 c解析因为k2＝＝3.030，因为k2>2.706，p(k2≥2.706)＝0.10，所以说有90%以上的把握认为“是否认为拆除太可惜了与性别有关”．
12．(2014·江西五校联盟)某工厂生产a，b两种元件，其质量按测试指标界定：大于或等于7.5为**，小于7.
5为次品．现从一批产品中随机抽取这两种元件各5件进行检测，检测结果记录如下：
现在知道a，b两种元件的检测数据的平均值相等，方差也相等，且xa．7,9 b．8,9
c．7.5,8.5 d．7.5,9.5
答案 b解析因为a＝×(7＋7＋7.5＋9＋9.5)＝8， b＝(6＋x＋8.5＋8.5＋y)，由a＝b，得x＋y＝17.①
因为s＝×(1＋1＋0.25＋1＋2.25)＝1.1，s＝[4＋(x－8)2＋0.25＋0.25＋(y－8)2]，由s＝s，得(x－8)2＋(y－8)2＝1.②
由①②，解得或。
因为x13．(2014·江西九校联考)
某数学爱好者设计了一个商标，如果在该商标所在平面内建立如图所示的平面直角坐标系xoy，则商标的边缘轮廓aoc恰是函数y＝tan的图像的一部分，边缘轮廓线aec恰是一段所对圆心角为的圆弧．若在图中正方形abcd内随机选取一点p，则点p落在商标区域内的概率为( )
a. b.
c. d.
答案 c解析设ab＝t，因为边缘轮廓线aoc恰是函数y＝tan的图像的一部分，所以点a，c关于原点o对称．所以连接ac的直线必过点o，根据对称性可知商标区域的面积s商标＝s圆－s△abc＝πt2－t2，故点p落在商标区域内的概率p＝＝＝故选c.
二、填空题。
14．(2014·四川成都二次质检)甲、乙两组各有三名同学，他们在一次测验中成绩的茎叶图如图所示，若分别从甲、乙两组中各随机选取一名同学，则这两名同学的成绩之差的绝对值不超过3的概率是___
答案 解析由题意可知所求概率p＝＝.
15．(2014·江西五校联盟测试)在一组数据3,4,5,6,6,7中插入一个自然数a，使所得新的一组数据的平均数与中位数相等，则自然数a的值为___
答案 4或11
解析当a≤5时，＝5，解得a＝4；当a≥6时，＝6，解得a＝11.
16．(2014·浙江)随机变量ξ的取值为0,1,2.若p(ξ＝0)＝，e(ξ)1，则d
答案 解析设出ξ＝1，ξ＝2时的概率，利用分布列中概率之和为1及期望的公式求解．
设p(ξ＝1)＝a，p(ξ＝2)＝b，则解得。
所以d(ξ)0＋×1＝.
17．在2023年8月15日那天，某市物价部门对本市的5家商场的某商品的一天销售量及其**进行调查，5家商场的售价x元和销售量y件之间的一组数据如下表所示：
由散点图可知，销售量y与**x之间有较强的线性相关关系，其线性回归直线方程是：＝－3.2x＋40，且m＋n＝20，则其中的n
答案 10解析 ＝＝8＋，＝6＋，线性回归直线一定经过样本中心(，)即6＋＝－3.2(8＋)＋40，即3.2m＋n＝42.
又∵m＋n＝20，即解得故n＝10.
18．(2014·南京四校联合测试)有下列四个函数：f1(x)＝x2－2|x|，f2(x)＝alg (－10)，f4(x)＝x，从中任取两个函数fi(x)，fj(x)，i，j∈，i≠j，则使f(x)＝fi(x)fj(x)为偶函数的概率为___
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