立体几何专练·作业(三十)
1．(本小题满分14分)
如图①，在四棱锥p－abcd中，pd⊥底面abcd，底面abcd是直角梯形，m为侧棱pd上一点，且该四棱锥的俯视图和侧(左)视图如图②所示．
1)证明：平面pbc⊥平面pbd；
2)求二面角a－bm－c的余弦值．
解析 (1)由俯视图可得bd2＋bc2＝cd2，所以bc⊥bd.(1分)
又pd⊥平面abcd，所以bc⊥pd.又pd∩bd＝d，所以bc⊥平面pbd.
因为bc平面pbc，所以平面pbc⊥平面pbd.(4分)
由侧(左)视图可得md＝3，由俯视图可求得ab＝1，ad＝.
建立如图所示的空间直角坐标系d－xyz，则d(0,0,0)，a(，0,0)，b(，1,0)，c(0,4,0)，m(0,0,3)．
所以＝(－0,3)，＝1,3)，＝3,0)．(6分)
设平面amb的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，则即可得y1＝0.令x1＝3，则z1＝.
所以n1＝(3,0，)是平面amb的一个法向量．(8分)
设平面bmc的法向量为n2＝(x2，y2，z2)，则。
即。令x2＝3，则y2＝，z2＝.
所以n2＝(3，，)是平面bmc的一个法向量．(10分)
cos〈n1，n2〉＝
又由图可知，二面角a－bm－c为钝角，所以二面角a－bm－c的余弦值为－.(14分)
2．(2014·新课标全国ⅰ)(本小题满分12分)
如图，在三棱柱abc－a1b1c1中，侧面bb1c1c为菱形，ab⊥b1c.
1)证明：ac＝ab1；
2)若ac⊥ab1，∠cbb1＝60°，ab＝bc，求二面角a－a1b1－c1的余弦值．
思路 (1)充分利用菱形中蕴含的垂直关系，用传统的方法(综合法)即可证明；
2)利用垂直关系建立空间直角坐标系，用法向量法求二面角的余弦值．
解析 (1)证明：连接bc1交b1c于点o，连接ao.因为侧面bb1c1c为菱形，所以b1c⊥bc1，且o为b1c及bc1的中点．
又ab⊥b1c，ab∩bo＝b，所以b1c⊥平面abo.
由于ao平面abo，故b1c⊥ao.
又b1o＝co，故ac＝ab1.(4分)
2)因为ac⊥ab1，且o为b1c的中点，所以ao＝co.
又因为ab＝bc，所以△boa≌△boc，故oa⊥ob，从而oa，ob，ob1两两互相垂直．
以o为坐标原点，，，的方向为x轴，y轴，z轴的正方向，||为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系o—xyz.(6分)
因为∠cbb1＝60°，所以△cbb1为等边三角形．又ab＝bc, oc＝oa，则a，b(1,0,0)，b1，c8分)
设n＝(x，y，z)是平面aa1b1的法向量，则即。
所以可取n＝(1，，)10分)
设m是平面a1b1c1的法向量，则。
同理可取m＝(1，－，
则cos〈n，m〉＝＝
所以二面角a—a1b1—c1的余弦值为。(12分)
3．(2014·四川三校3月联考)(本小题满分12分)
如图，已知在三棱柱abc－a1b1c1中，所有棱长都为2，且aa1⊥平面abc，＝λr)．
1)当λ＝1时，求证：ab1⊥平面a1bd；
2)当λ＝，求二面角a－a1d－b的大小．
思路 (1)取bc边的中点o，连接ao，可证ao垂直于平面bb1c1c，以o为坐标原点建立空间直角坐标系，由已知求出各点的坐标，得到向量，，的坐标，由向量的数量积等于0，可证ab1⊥平面a1bd；
2)把点d的坐标表示出来，求出平面a1bd和平面aa1d的法向量，利用法向量求得二面角的大小为，也可利用综合法求解．
解析 (1)当λ＝1时，取bc的中点为o，连接ao，在三棱柱abc－a1b1c1中，因为aa1⊥平面abc，aa1∥bb1，所以bb1⊥平面abc.又bb1平面bb1c1c，所以平面abc⊥平面bb1c1c.
因为△abc为正三角形，所以ao⊥bc.
故ao⊥平面bb1c1c.(2分)
以o为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系o－xyz.
则a(0,0，)，b1(1,2,0)，d(－1,1,0)，a1(0,2，)，b(1,0,0)．所以＝(1,2，－)1,1，)，2，－1,0)．
因为·＝1＋2－3＝0，·＝2－2＝0，所以ab1⊥da1，ab1⊥db.又da1∩db＝d，所以ab1⊥平面a1bd.(5分)
2)由题意得d(－1，，0)，所以＝(1，，)2，－，0)，＝1，－，
设平面a1bd的法向量n1＝(x，y，z)，平面aa1d的法向量n2＝(s，t，u)，由得取y＝1，得x＝，z＝－.
所以n1＝(，1，－)为平面a1bd的一个法向量．(8分)
由得取u＝－1，得s＝，t＝0.
所以n2＝(，0，－1)为平面aa1d的一个法向量．(10分)
由cos〈n1，n2〉＝＝得〈n1，n2〉＝.
所以二面角a－a1d－b的大小为。(12分)
4．(本小题满分12分)
如图，在直角梯形abcd中，ad∥bc，∠adc＝90°，ae⊥平面abcd，ef∥cd，bc＝cd＝ae＝ef＝ad＝1.
1)求证：ce∥平面abf；
2)求证：be⊥af；
3)在直线bc上是否存在点m，使二面角e－md－a的大小为？若存在，求出cm的长；若不存在，请说明理由．
解析 (1)如图，作fg∥ea，ag∥ef，连接eg交af于h，连接bh，bg.
ef∥cd且ef∥ag，ag∥cd，即点g在平面abcd内．
由ae⊥平面abcd，知ae⊥ag.又ag∥ef，ae∥fg，四边形aefg为正方形．
四边形cdag为平行四边形．(2分)
h为eg的中点，b为cg的中点．
bh∥ce.
ce∥平面abf.(4分)
2)在平行四边形cdag中，∠adc＝90°，bg⊥ag.
又由ae⊥平面abcd，知ae⊥bg.
bg⊥平面aefg.
bg⊥af.(6分)
又∵af⊥eg，af⊥平面bge.
af⊥be.(8分)
3)如上图，以a为原点，ag为x轴，ad为y轴，ae为z轴，建立空间直角坐标系a－xyz，则a(0,0,0)，g(1,0,0)，e(0,0,1)，d(0,2,0)．
设m(1，y0,0)，∴0,2，－1)，＝1，y0－2,0)．
设平面emd的法向量n＝(x，y，z)，则令y＝1，得z＝2，x＝2－y0.
n＝(2－y0,1,2)．(10分)
又∵⊥平面amd，＝(0,0,1)为平面amd的一个法向量．
|cos〈n，〉|cos＝，解得y0＝2±.
故在bc上存在点m，且cm＝|2－(2±)|12分)
5．(2014·广东)(本小题满分13分)
如图，四边形abcd为正方形，pd⊥平面abcd，∠dpc＝30°，af⊥pc于点f，fe∥cd，交pd于点e.
1)证明：cf⊥平面adf；
2)求二面角d－af－e的余弦值．
思路 (1)由已知想性质，由求证想判定．要证cf⊥平面adf，已知af⊥cf，只需证cf⊥ad；
2)建立空间直角坐标系，利用平面的法向量求二面角的平面角．
解析 (1)证明：∵pd⊥平面abcd，ad平面abcd，pd⊥ad.
又cd⊥ad，pd∩cd＝d，ad⊥平面pcd.(2分)
又pc平面pcd，∴ad⊥pc.
又af⊥pc，ad∩af＝a，pc⊥平面adf，即cf⊥平面adf.(5分)
2)设ab＝1，则在rt△pdc中，cd＝1，又∠dpc＝30°，pc＝2，pd＝，∠pcd＝60°.
由(1)知cf⊥df，df＝cdsin60°＝，cf＝cdcos60°＝.
又fe∥cd，∴＝de＝.
同理ef＝cd＝.(7分)
如图所示，以d为原点，建立空间直角坐标系，则a(0,0,1)，e，f，p(，0,0)，c(0,1,0)．
设m＝(x，y，z)是平面aef的一个法向量，则。
又＝，＝令x＝4，则z＝，m＝(4,0，)．10分)
由(1)知平面adf的一个法向量为＝(－1,0)，设二面角d－af－e的平面角为θ，可知θ为锐角，故cosθ＝|cos〈m，〉|
故二面角d－af－e的余弦值为。(13分)
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