解析几何专练·作业(三十二)
1．(本小题满分13分)
已知椭圆c：＋＝1(a>b>0)的离心率为，且点(1，)在该椭圆上．
1)求椭圆c的方程；
2)过椭圆c的左焦点f1的直线l与椭圆c相交于a，b两点，若△aob的面积为，求圆心在原点o且与直线l相切的圆的方程．
解析 (1)由题意可知e＝＝，又a2＝b2＋c2，所以b2＝a2.(2分)
因为椭圆c经过点(1，)，所以＋＝1.
解得a2＝4，所以b2＝3.
故椭圆c的方程为＋＝1.(4分)
2)方法一由(1)知f1(－1,0)，当直线l⊥x轴时，a(－1，－)b(－1，)或a(－1，)，b(－1，－)s△aob＝×|ab|×|of1|＝×3×1＝，不符合题意．(6分)
当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y＝k(x＋1)(k≠0)，由消去y，得(3＋4k2)x2＋8k2x＋4k2－12＝0.
显然δ>0恒成立，设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则x1＋x2＝－，x1x2＝.(7分)
又|ab|＝|x1－x2|·＝即|ab|＝·8分)
又圆o的半径r＝＝，所以s△aob＝×|ab|×r＝××10分)
化简，得17k4＋k2－18＝0，即(k2－1)(17k2＋18)＝0.
解得k2＝1或k2＝－(舍去)，所以r＝＝.
故圆o的方程为x2＋y2＝.(13分)
方法二设直线l的方程为x＝ty－1，由消去x，得(4＋3t2)y2－6ty－9＝0.
显然δ>0恒成立，设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则y1＋y2＝，y1y2＝－.7分)
所以|y1－y2|＝＝
所以s△aob＝·|f1o|·|y1－y2|＝＝
化简，得18t4－t2－17＝0，即(18t2＋17)(t2－1)＝0.
解得t2＝1或t2＝－(舍去)．
又圆o的半径r＝＝，所以r＝.
故圆o的方程为x2＋y2＝.(13分)
2．(本小题满分13分)
已知椭圆e：＋＝1(a>b>0)过点(，1)，离心率为。
1)若a是椭圆e的上顶点，f1，f2分别是左、右焦点，直线af1，af2分别交椭圆于b，c两点，直线bo交ac于点d，求证：s△abd∶s△abc＝3∶5；
2)若a1，a2分别是椭圆e的左、右顶点，动点m满足ma2⊥a1a2，且ma1交椭圆e于点p，求证：·为定值．
解析 1)由题意。
得。且c2＝a2－b2，解得。
所以椭圆e的方程为＋＝1.(2分)
所以a(0，)，f1(－，0)，f2(，0)．
所以直线ab：y＝x＋，直线ac：y＝－x＋.
将y＝x＋代入椭圆方程可得3x2＋4x＝0，所以b(－，
同理可得c(，－4分)
所以直线ob：y＝x.
联立得交点d(，)6分)
所以|ad|＝，ac|＝，即|ad|∶|ac|＝3∶5.
所以s△abd∶s△abc＝3∶5.(7分)
2)由(1)知椭圆e的标准方程为＋＝1，设m(2，y0)，p(x1，y1)，易知直线ma1的方程为y＝x＋，代入椭圆＋＝1，得(1＋)x2＋x＋－4＝0.
所以－2x1＝，解得x1＝.(10分)
从而y1＝，所以·＝(2，y0)＝＋4，即·为定值．(13分)
3．(本小题满分14分)
已知抛物线c的顶点为原点，其焦点f(0，c)(c>0)到直线l：x－y－2＝0的距离为。
1)求抛物线c的方程；
2)已知a，b是抛物线c上的两点，过a，b两点分别作抛物线c的切线，两条切线的交点为m，设线段ab的中点为n，证明：存在λ∈r，使得＝λ；
3)在(2)的条件下，若抛物线c的切线bm与y轴交于点r，a，b两点的连线过点f，试求△abr面积的最小值．
解析 (1)依题意，设抛物线c的方程为x2＝4cy(c>0)，则＝，解得c＝1，∴抛物线c的方程为x2＝4y.(3分)
2)设a(x1，y1)，b(x2，y2)，由y′＝x，得直线am的斜率kam＝x1.
直线bm的斜率kbm＝x2，直线am的方程为y－y1＝x1(x－x1)，
直线bm的方程为y－y2＝x2(x－x2)．
由①②得y2－y1＝x1(x－x1)－x2(x－x2)＝(x1－x2)x＋x－x.
a(x1，y1)，b(x2，y2)在抛物线c：y＝x2上，x－x＝(x1－x2)x＋x－x.
x＝(x1＋x2)．(6分)
即点m的横坐标x＝(x1＋x2)．
又点n的横坐标也为，mn∥y轴，即与共线．
存在λ∈r，使得＝λ.8分)
3)设点b的坐标为(t，)(t≠0)，则切线bm的方程为y－＝(x－t)，可得r的坐标为(0，－)
直线ba的方程为y＝x＋1，由可得点a的坐标为(－，
s△abr＝|fr|·|xb－xa|＝|1＋|·t＋|＝t3＋2t＋|.11分)
|t3＋2t＋|是关于t的偶函数，∴只需考虑t>0的情况．
令f(t)＝(t3＋2t＋)(t>0)，则f′(t)＝(t2＋2－)，令f′(t)＝0，解得t＝.
当t∈(0，)时，f′(t)<0，当t∈(，时，f′(t)>0，(13分)
当且仅当t＝时，f(t)取得最小值f(t)min＝f()＝
△abr面积的最小值为。(14分)
4．(2014·安徽合肥5月)(本小题满分15分)
在平面直角坐标系xoy中，已知椭圆c：＋＝1(a>
b≥1)的离心率e＝，且椭圆c上一点n到q(0,3)距离的最大值为4，过点m(3,0)的直线交椭圆c于点a，b.
1)求椭圆c的方程；
2)设p为椭圆上一点，且满足＋＝t (o为坐标原点)，当|ab|《时，求实数t的取值范围．
解析 (1)∵e2＝＝＝a2＝4b2.(1分)
则椭圆方程为＋＝1，即x2＋4y2＝4b2.
设n(x，y)，则|nq|＝(2分)
当y＝－1时，|nq|有最大值，则＝4，(3分)
解得b2＝1，∴a2＝4，故椭圆方程是＋y2＝1.(4分)
2)设a(x1，y1)，b(x2，y2)，p(x，y)，直线ab的方程为y＝k(x－3)，由。
整理，得(1＋4k2)x2－24k2x＋36k2－4＝0.(6分)
则x1＋x2＝，x1·x2＝.
＝(－24k2)2－16(9k2－1)(1＋4k2)>0，解得k2<.(7分)
由题意得＋＝(x1＋x2，y1＋y2)＝t(x，y)，则x＝(x1＋x2)＝，y＝(y1＋y2)＝[k(x1＋x2)－6k]＝.9分)
由点p在椭圆上，得＋＝4.
化简，得36k2＝t2(1＋4k2)． 10分)
由|ab|＝|x1－x2|<，得(1＋k2)[(x1＋x2)2－4x1x2]<3.将x1＋x2，x1x2代入，得。
1＋k2)[－3.(12分)
化简，得(8k2－1)(16k2＋13)>0.
则8k2－1>0，即k2>.(14分)
由①得t2＝＝9－.
由②得3故实数t的取值范围为－25．(2014·江西八校联考)(本小题满分13分)
如图，线段ab为半圆adb所在圆的直径，o为半圆圆心，且od⊥ab，q为线段od的中点，已知|ab|＝4，曲线c过q点，动点p在曲线c上运动且保持|pa|＋|pb|的值不变．
1)建立适当的平面直角坐标系，求曲线c的方程；
2)过d点的直线l与曲线c相交于不同的两点m，n，且m在d，n之间，设＝λ，求λ的取值范围．
解析 (1)以o为原点，ab，od所在直线分别为x轴，y轴，建立平面直角坐标系xoy，|pa|＋|pb|＝|qa|＋|qb|＝2＝2>|ab|＝4，曲线c为以原点为中心，a，b为焦点的椭圆．
设其长半轴长为a，短半轴长为b，则a＝，b＝1.
曲线c的方程为＋y2＝1.(4分)
2)当直线l的斜率不存在时，显然λ＝＝此时直线l与y轴重合)；(6分)
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx＋2，代入＋y2＝1，得(1＋5k2)x2＋20kx＋15＝0.
则δ＝(20k)2－4×15(1＋5k2)>0，即k2>.
设m(x1，y1)，n(x2，y2)，则＝＝λ
又x1＋x2＝－，x1x2＝，(8分)
将x1＝λx2，代入得。
k2>，∴0<<.
5<5＋<，即4<<.
4<<，0，4λ<(1＋λ)2<λ，解得<λ<3且λ≠1.
λ＝＝m在d，n之间，∴<1.
综上，λ的取值范围为[，1)．(13分)
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