导数及其应用专题练习作业含答案

小题专练·作业(十七)

一、选择题。

1．(2014·陕西)定积分(2x＋ex)dx的值为( )

a．e＋2b．e＋1

c．ed．e－1

答案 c解析 (2x＋ex)dx＝(x2＋ex)|＝1＋e)－(0＋e0)＝e，因此选c.

2．(2014·大纲全国)曲线y＝xex－1在点(1,1)处切线的斜率等于( )

a．2e b．e

c．2 d．1

答案 c解析利用导数的几何意义求解．

y′＝ex－1＋xex－1＝(x＋1)ex－1，故曲线在点(1,1)处的切线斜率为y′|x＝1＝2.

3．(2014·烟台训练)函数f(x)＝lnx－x2的大致图像是( )

答案 b解析易知函数f(x)的定义域为(0，＋∞f′(x)＝－x＝.当00；当x>1时，f′(x)<0.所以f(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞上单调递减，所以f(x)max＝f(1)＝－故结合图像可知选b.

4．已知函数f(x)的定义域为[－1,5]，部分对应值如下表．f(x)的导函数y＝f′(x)的图像如图所示。

下列关于函数f(x)的命题：

函数y＝f(x)是周期函数；

函数f(x)在[0,2]上是减函数；

如果当x∈[－1，t]时，f(x)的最大值是2，那么t的最大值为4；

当1其中真命题的个数为( )

a．4个 b．3个

c．2个 d．1个。

答案 d解析依题意得函数f(x)不可能是周期函数，因此①不正确；当x∈(0,2)时，f′(x)<0，因此函数f(x)在[0,2]上是减函数，②正确；当x∈[－1，t]时，f(x)的最大值是2，依题意，结合函数f(x)的可能图像形状分析可知，此时t的最大值是5，因此③不正确；注意到f(2)的值不明确，结合图形分析可知，将函数f(x)的图像向下平移a(15．(2014·陕西)如图，修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连接(相切)．已知环湖弯曲路段为某三次函数图像的一部分，则该函数的解析式为( )

a．y＝x3－x2－x b．y＝x3＋x2－3x

c．y＝x3－x d．y＝x3＋x2－2x

答案 a解析 a选项中，y′＝f′(x)＝x2－x－1，f′(0)＝－1，f′(2)＝3.

曲线在(0,0)和(2,0)处分别与直线y＝－x，y＝3x－6相切，且在上单调递减，在上单调递增，符合题意，对b，c，d选项可验证曲线在(0,0)或(2,0)处不与直线y＝－x，y＝3x－6相切，故选a.

6．(2014·惠州二次调研)已知函数f(x)＝1＋x－＋－且函数f(x)的零点均在区间[a，b](aa．π b．2π

c．3π d．4π

答案 a解析 ∵f(x)＝1＋x－＋－f′(x)＝1－x＋x2－x3＋…＋x2 012，∴当x＝－1时，f′(x)＝2 013>0，当x≠－1时，f′(x)＝>0.

函数f(x)在(－∞上单调递增．

又f(－1)＝1－1－－－0，f(0)＝1>0，∴函数f(x)在(－∞上有唯一零点x0∈(－1,0)，∴b－a的最小值为1，故圆x2＋y2＝b－a的面积的最小值为π×12＝π.

7．(2014·九江六校联考)定积分(＋x)dx的值为( )

a. b.

c.－ d.－

答案 c解析

＋x)dx表示半圆(x＋1)2＋y2＝1(y≥0)与直线y＝－x围成的封闭区域的面积，如图所示，直线y＝－x与(x＋1)2＋y2＝1(y≥0)的交点为(0,0)，(1,1)，所以由定积分的几何意义可知， (x)dx＝－×1×1＝－.

8．(2014·南昌二模)已知函数y＝f(x)对任意的x∈(－满足f′(x)cosx＋f(x)sinx>0(其中f′(x)是函数f(x)的导函数)，则下列不等式成立的是( )

a. f(－)c．f(0)>2f() d．f(0)> f()

答案 a解析由f′(x)cosx＋f(x)sinx>0，知()′0.所以g(x)＝在(－，上是增函数，所以g(－)g()，即》，得f()>f()，所以b不正确；由g()>g(0)，即》，得f(0)<2f()，所以c不正确；由g()>g(0)，即》，得f(0)< f()，所以d不正确．故选a.

9．(2014·青岛重点中学联考)已知函数f(x)＝aln(x＋1)－x2，在区间(0,1)内任取两个实数p，q，且p≠q，若不等式》1恒成立，则实数a的取值范围为( )

a．[11b．[13，＋∞

c．[15d．[17，＋∞

答案 c解析＝表示点(p＋1，f(p＋1))与点(q＋1，f(q＋1))连线的斜率，因为01在(1,2)内恒成立．由定义域可知x>－1，所以f′(x)＝－2x>1，即》1＋2x，所以a>(1＋2x)(x＋1)成立．设y＝(1＋2x)(x＋1)，则y＝2x2＋3x＋1，当110．(2014·昆明模拟)如图，在矩形abco中任取一点p，则点p恰在阴影部分的概率为( )

a. b.

c. d.

答案 d解析因为y＝2cos2－1＝cosx，所以阴影部分面积即为y＝cosx与x轴所围成的封闭图形的面积．又x∈[0，π]所以s阴影＝cosxdx＝1，即s阴影＝2，所以所求概率p＝＝.

11．(2014·黄冈市统一调研)设函数f(x)＝x2－2x＋1＋alnx有两个极值点x1，x2，且x1a．f(x2)< b．f(x2)<

c．f(x2)> d．f(x2)>

答案 d解析由题设，知f(x)的定义域为，求导得f′(x)＝，因为f(x)有两个极值点x1，x2，所以x1，x2是方程2x2－2x＋a＝0的两根．又x10，所以g(t)在(，1)上为增函数，所以g(t)>g()＝所以f(x2)>.

12．(2014·江西新课程适应性考试)已知函数f(x)＝－x3＋2x2＋2x，若存在满足0≤x0≤3的实数x0，使得曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线与直线x＋my－10＝0垂直，则实数m的取值范围是( )

a．[6b．(－2]

c．[2,6] d．[5,6]

答案 c解析 f′(x)＝－x2＋4x＋2＝－(x－2)2＋6，因为0≤x0≤3，所以曲线y＝f(x)在(x0，f(x0))处的切线斜率的取值范围是f′(x0)∈[2,6]．而切线与直线x＋my－10＝0垂直，所以切线的斜率等于m，所以m∈[2,6]．

13．(2014·太原模拟)已知函数f(x)＝ax－logax(a>1)，要使f(x)恒有两个零点，则a的取值范围为( )

答案 b解析

14．(2014·湖南)已知函数f(x)＝x2＋ex－(x<0)与g(x)＝x2＋ln(x＋a)的图像上存在关于y轴对称的点，则a的取值范围是( )

a. b．(－

c. d.

答案 b解析由题意可得当x>0时，y＝f(－x)与y＝g(x)的图像有交点，即g(x)＝f(－x)有正解，即x2＋ln(x＋a)＝(x)2＋e－x－有正解，即e－x－ln(x＋a)－＝0有正解，令f(x)＝e－x－ln(x＋a)－，则f′(x)＝－e－x－<0，故函数f(x)＝e－x－ln(x＋a)－在(0，＋∞上是单调递减的，要使方程g(x)＝f(－x)有正解，则存在正数x使得f(x)≥0，即e－x－ln(x＋a)－≥0，所。

二、填空题。

15．(2014·江西)若曲线y＝e－x上点p处的切线平行于直线2x＋y＋1＝0，则点p的坐标是___

答案 (－ln2,2)

解析先求复合函数的导数，再利用导数的几何意义确定切点的坐标．

设p(x0，y0)，∵y＝e－x，∴y′＝－e－x.

点p处的切线斜率为k＝－e－x0＝－2.

－x0＝ln2，∴x0＝－ln2.

y0＝eln2＝2，∴点p的坐标为(－ln2,2)．

16．已知函数f(x)＝(x－k)2，其中k>0，则f(x)的单调递增区间为___

答案 (－k)，(k，＋∞

解析由题意知f′(x)＝(x2－k2) .

令f′(x)＝0，得x＝±k.

当k>0时，f(x)与f′(x)的情况如下：

所以f(x)的单调递增区间是(－∞k)和(k，＋∞单调递减区间是(－k，k)．

17．(2014·大同模拟)设f(x)是定义在r上的奇函数，在区间(－∞0)上有xf′(x)＋f(x)<0，且f(－2)＝0，则不等式xf(2x)<0的解集为___

答案 {x|－1解析令g(x)＝xf(x)，由f(x)是定义在r上的奇函数，知f(x)＝0，且g(x)＝xf(x)(x∈r)是偶函数．另一方面，在(－∞0)上，g′(x)＝xf′(x)＋f(x)<0，从而g(x)＝xf(x)在(－∞0)上是减函数，在(0，＋∞上是增函数．由f(－2)＝0，知f(2)＝0，故由xf(2x)<0，即2xf(2x)<0，知即－1**本题主要考查学生综合利用函数的奇偶性、单调性等解决函数、导数和不等式问题的能力，同时要求学生能根据“xf′(x)＋f(x)<0”构造相关函数解题．

18．(2014·合肥四校联考)符号[x]表示不超过x的最大整数，如[2]＝2，[π3，[－2，定义函数f(x)＝x－[x]，设函数g(x)＝－若f(x)在(0,2)上的零点个数记为a，f(x)与g(x)图像交点的个数记为b，则 [f(x)＋g(x)]dx的值是___

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