姓名班级评价。
1.(2014·盐城模拟)已知f(x)＝x2＋2xf′(2 014)＋2 014ln x，则f′(2 014)＝_
解析因为f′(x)＝x＋2f′(2 014)＋，所以f′(2 014)＝2 014＋2f′(2 014)＋，即f′(2 014)＝－2 014＋1)＝－2 015.
答案 －2 015
2.函数f(x)＝2mcos2＋1的导函数的最大值等于1，则实数m的值为___
解析显然m≠0，所以f(x)＝2mcos2＋1
m＋m＋1＝mcos x＋m＋1，因此f′(x)＝－msin x，其最大值为1，故有m＝±1.
答案 ±13.已知函数f(x)＝x2－ax＋3在(0,1)上为减函数，函数g(x)＝x2－aln x在(1,2)上为增函数，则a的值等于___
解析 ∵函数f(x)＝x2－ax＋3在(0,1)上为减函数，≥1，得a≥2.
又∵g′(x)＝2x－，依题意g′(x)≥0在x∈(1,2)上恒成立，得2x2≥a在x∈(1,2)上恒成立，有a≤2，∴a＝2.
答案 24.(2014·绍兴模拟)若a>0，b>0，且函数f(x)＝4x3－ax2－2bx＋2在x＝1处有极值，则ab的最大值为___
解析依题意知f′(x)＝12x2－2ax－2b，f′(1)＝0，即12－2a－2b＝0，∴a＋b＝6.
又a>0，b>0，∴ab≤2＝9，当且仅当a＝b＝3时取等号，∴ab的最大值为9.
答案 95.设f(x)＝a(x－5)2＋6ln x，其中a∈r，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与y轴相交于点(0,6)．
1)确定a的值；
2)求函数f(x)的单调区间与极值．
解 (1)因f(x)＝a(x－5)2＋6ln x，故f′(x)＝2a(x－5)＋.
令x＝1，得f(1)＝16a，f′(1)＝6－8a，所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为。
y－16a＝(6－8a)(x－1)，由点(0,6)在切线上可得6－16a＝8a－6，故a＝.
2)由(1)知，f(x)＝(x－5)2＋6ln x(x>0)，f′(x)＝x－5＋＝.
令f′(x)＝0，解得x＝2或3.
当03时，f′(x)>0，故f(x)在(0,2)，(3，＋∞上为增函数；
当2故f(x)在(2,3)上为减函数．
由此可知f(x)在x＝2处取得极大值f(2)＝＋6ln 2，在x＝3处取得极小值f(3)＝2＋6ln 3.
6.(2014·新课标全国卷ⅱ节选)已知函数f(x)＝ex－e－x－2x.
1)讨论f(x)的单调性；
2)设g(x)＝f(2x)－4bf(x)，当x>0时，g(x)>0，求b的最大值．
解 (1)f′(x)＝ex＋e－x－2≥0，等号仅当x＝0时成立．
所以f(x)在(－∞单调递增．
2)g(x)＝f(2x)－4bf(x)＝e2x－e－2x－4b(ex－e－x)＋(8b－4)x，g′(x)＝2[e2x＋e－2x－2b(ex＋e－x)＋(4b－2)]
2(ex＋e－x－2)(ex＋e－x－2b＋2)．
当b≤2时，g′(x)≥0，等号仅当x＝0时成立，所以g(x)在(－∞单调递增．而g(0)＝0，所以对任意x>0，g(x)>0；
当b>2时，若x满足2综上，b的最大值为2.
7.(2014·山东卷)设函数f(x)＝－k (k为常数，e＝2.718 28…是自然对数的底数)．
1)当k≤0时，求函数f(x)的单调区间；
2)若函数f(x)在(0,2)内存在两个极值点，求k的取值范围．
解 (1)函数y＝f(x)的定义域为(0，＋∞
f′(x)＝－k
由k≤0可得ex－kx>0，所以当x∈(0,2)时，f′(x)<0，函数y＝f(x)单调递减，当x∈(2，＋∞时，f′(x)>0，函数y＝f(x)单调递增．
所以f(x)的单调递减区间为(0,2)，单调递增区间为(2，＋∞
2)由(1)知，k≤0时，函数f(x)在(0,2)内单调递减，故f(x)在(0,2)内不存在极值点；
当k>0时，设函数g(x)＝ex－kx，x∈(0，＋∞
因为g′(x)＝ex－k＝ex－eln k，当0当x∈(0,2)时，g′(x)＝ex－k>0，y＝g(x)单调递增．
故f(x)在(0,2)内不存在两个极值点；
当k>1时，得x∈(0，ln k)时，g′(x)<0，函数y＝g(x)单调递减；
x∈(ln k，＋∞时，g′(x)>0，函数y＝g(x)单调递增．
所以函数y＝g(x)的最小值为g(ln k)＝k(1－ln k)．
函数f(x)在(0,2)内存在两个极值点，当且仅当解得e综上所述，函数f(x)在(0,2)内存在两个极值点时，k的取值范围为。
8.已知函数f(x)＝x2＋2aln x.
1)若函数f(x)的图象在(2，f(2))处的切线斜率为1，为求实数a的值；
2)若函数g(x)＝＋f(x)在[1,2]上是减函数，求实数a的取值范围．
解 (1)f′(x)＝2x＋＝.
由已知f′(2)＝1，解得a＝－3.
2)由g(x)＝＋x2＋2aln x，得g′(x)＝－2x＋.
由函数g(x)为[1,2]上的单调减函数，则g′(x)≤0在[1,2]上恒成立，即－＋2x＋≤0在[1,2]上恒成立，即a≤－x2在[1,2]上恒成立．
令h(x)＝－x2，在[1,2]上h′(x)＝－2x＝－＜0，所以h(x)在[1,2]上为减函数，h(x)min＝h(2)＝－
所以a≤－.
10．(2014·北京西城区一模)已知函数f(x)＝ln x－，其中a∈r.
1)当a＝2时，求函数f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线方程；
2)如果对于任意x∈(1，＋∞都有f(x)＞－x＋2，求a的取值范围．
解 (1)由f(x)＝ln x－，得f′(x)＝＋
所以f′(1)＝3.又因为f(1)＝－2，所以函数f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线方程为3x－y－5＝0.
2)由f(x)＞－x＋2，得ln x－＞－x＋2，即a＜xln x＋x2－2x.
设函数g(x)＝xln x＋x2－2x，则g′(x)＝ln x＋2x－1.
因为x∈(1，＋∞所以ln x＞0,2x－1＞0，所以当x∈(1，＋∞时，g′(x)＝ln x＋2x－1＞0，故函数g(x)在x∈(1，＋∞上单调递增，所以当x∈(1，＋∞时，g(x)＞g(1)＝－1.
因为对于任意x∈(1，＋∞都有f(x)＞－x＋2成立，即对于任意x∈(1，＋∞都有a＜g(x)成立，所以a≤－1.
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