江苏省南菁高级中学2012-2013学年度第二学期高二暑假作业。
文科--函数与导数ⅰ
一、 填空题。
1、函数的定义域是。
2、函数的零点个数 1
3、曲线在点(1,f(1))处的切线方程为___
4、若关于x的方程logx＝在区间(0,1)上有解，则实数m的取值范围 （0，1
5、已知函数f(x)＝若f[f(0)]＝4a，则实数a等于 2
6、关于的不等式对任意恒成立，则实数的值为___
7、已知f(x)在定义在r上的奇函数，当x≥0时，值域为[－2,3]，则y＝f(x)(x∈r)值域[－3,3]
8、函数f(x)＝在(－∞上单调，则a取值范围(－∞1，]
9、函数y＝ax－1(a>0，且a≠1)的图像恒过定点a，若点a在一次函数y＝mx＋n的图像上，其中m，n>0，则＋的最小值为_4___
10、定义在r上的函数，对任意x∈r都有，当时， ,则___
11、若在上是减函数，则b的取值范围是
12、定义：f(x，y)＝yx(x>0，y>0)，已知数列满足：an＝(n∈n*)，若对任意正整数n，都有an≥ak(k∈n*)成立，则ak的值为__8/9___
13、已知函数f(x)满足f(x＋1)＝，且f(x)是偶函数，当x∈[0,1]时，f(x)＝x，若在区间。
－1,3]内，函数g(x)＝f(x)－kx－k有四个零点，则实数k的取值范围 (0
14、若函数f(x)=则使f[f(x)]=2成立的实数x的集合为___
二、解答题。
15、已知函数y＝f(x)的图象关于原点对称，且x＞0时，f(x)＝x2－2x＋3，试求f(x)在r上的表达式，并画出它的图象，根据图象写出它的单调区间．
解 ∵f(x)的图象关于原点对称，f(－x)＝－f(x)，又当x＞0时，f(x)＝x2－2x＋3，当x＜0时，f(x)＝－x2－2x－3.当x＝0时，f(x)＝0.
函数解析式为：f(x)＝
作出函数的图象如图．根据图象可以得函数的增区间为：
函数的减区间为：(－1,0)，(0,1)．
16、设函数，其中为自然对数的底数。[**：z,xx,ⅰ)若，求的单调递增区间；
ⅱ)若当时，恒成立，求实数的取值范围。
答案】17、已知函数f(x)＝－a＞0，a≠1)．
1)证明函数y＝f(x)的图象关于点对称；
2)求f(－2)＋f(－1)＋f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)的值．
1)证明函数f(x)的定义域为r，任意一点(x，y)关于点对称的点的坐标为(1－x，－1－y)．
由已知，f(x)＝－则－1－y＝－1＋＝－f(1－x1－y＝f(1－x)．
即函数y＝f(x)的图象关于点对称．
2)解由(1)知有－1－f(x)＝f(1－x)．
即f(x)＋f(1－x)＝－1.
f(－2)＋f(3)＝f(－1)＋f(2)＝f(0)＋f(1)＝－1，f(－2)＋f(－1)＋f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝－3.
18、函数f(x)的定义域为d＝且满足对于任意x1，x2∈d，有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)．
1)求f(1)的值；
2)判断f(x)的奇偶性并证明；
3)如果f(4)＝1，f(3x＋1)＋f(2x－6)≤3，且f(x)在(0，＋∞上是增函数，求x的取值范围．
解 (1)令x1＝x2＝1，有f(1×1)＝f(1)＋f(1)，解得f(1)＝0.
2)f(x)为偶函数，令x1＝x2＝－1，有f[(－1)×(1)]＝f(－1)＋f(－1)，解得f(－1)＝0
令x1＝－1，x2＝x有f(－x)＝f(－1)＋f(x)，即f(－x)＝f(x)．
所以f(x)为偶函数．
3)f(4×4)＝f(4)＋f(4)＝2，f(16×4)＝f(16)＋f(4)＝3.
所以f(3x＋1)＋f(2x－6)≤3即f[(3x＋1)(2x－6)]≤f(64)①
因为f(x)在(0，＋∞上是增函数，所以①等价于不等式组：或。或。
所以3＜x≤5或－≤x＜－或－＜x＜3.
故x的取值范围为．
19、已知函数f(x)= m(x-1)2-2x+3+lnx ,m∈r.
1)当m=0时，求函数f(x)的单调增区间；
2)当m>0时，若曲线y=f(x)在点p(1,1)处的切线l与曲线y=f(x)有且只有一个公共点，求实数m的值。
解(1)由题意知，f(x)=-2x+3+lnx,所以f′(x)=-2+= x>0)
由f′(x)>0得x∈(0,)
所以函数f(x)的单调增区间为(0,)
2)由f′(x)=mx-m-2+,得f′(1)=-1,所以曲线y=f(x)在点p(1,1)处的切线l的方程为y=-x+2
由题意得，关于x的方程f(x)=-x+2有且只有一个解，即关于x的方程m(x-1)2-x+1+lnx=0有且只有一个解。
令g(x)= m(x-1)2-x+1+lnx(x>0).
则g′(x)=m(x-1)-1+==x>0)
当00得0,由g′(x)<0得1所以函数g(x)在(0,1)为增函数，在(1,)上为减函数，在(,+上为增函数。
又g(1)=0,且当x→∞时，g(x)→∞此时曲线y=g(x)与x轴有两个交点。
故0②当m=1时，g′(x)≥0,g(x)在(0,+∞上为增函数，且g(1)=0,故m=1符合题意。
当m>1时，由g′(x)>0得01,由g′(x)<0得所以函数g(x)在(0,) 为增函数，在(,1)上为减函数，在(1,+∞上为增函数。
又g(1)=0,且当x→0时，g(x)→-此时曲线y=g(x)与x轴有两个交点。
故m>1不合题意。
综上，实数m的值为m=1
20、在区间d上，如果函数f(x)为增函数，而函数f(x)为减函数，则称函数f(x)为“弱增函数”，已知函数f(x)＝1－.
1)判断函数f(x)在区间(0,1]上是否为“弱增函数”；
2)设x1，x2∈[0，＋∞且x1≠x2，证明：|f(x1)－f(x2)|＜x1－x2|；
3)当x∈[0,1]时，不等式1－ax≤≤1－bx恒成立，求实数a，b的取值范围．
1)解显然f(x)在区间(0,1)上为增函数，因为f(x)＝·所以f(x)为减函数，因此f(x)是“弱增”函数．
2)证明 |f(x1)－f(x2)|＝
因为x1，x2∈(0，＋∞x1≠x2，所以··(2，所以|f(x1)－f(x2)|＜x1－x2|.
3)解当x∈[0,1]时，不等式1－ax≤≤1－bx恒成立．所以当x＝0时，不等式显然成立，当x∈(0,1]时，等于恒成立由(1)知f(x)为减函数，1－≤f(x)＜，所以a≥且b≤1－.
暑假作业 函数导数 学生版
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