变化率与导数、导数的计算。
1． 函数y＝f(x)在x＝x0处的导数：
f′(x0)＝＝
2几何意义：曲线y＝f(x)上在点(x0，f(x0))处的切线的斜率是f′(x0)．相应地，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．
二、基本初等函数的导数公式。
三、导数的运算法则。
1．[f(x)±g(x)]′f′(x)±g′(x)；
2．[f(x)·g(x)]′f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；
3.′＝g(x)≠0)．
四、复合函数求导（理科）
用定义法求下列函数的导数．（略）
求下列函数的导数．
1) y＝x2sin x；(2)y＝；
[自主解答] (1)y′＝(x2)′sin x＋x2(sin x)′＝2xsin x＋x2cos x.2)y′＝
则y′＝(ln u)′u′＝·2＝，即y′＝.
（理科）求下列复合函数的导数：
1)y＝(2x－3)5；(2)y＝；
3)y＝sin2；(4)y＝ln(2x＋5)．
解：(1)y′＝(ex·ln x)′
exln x＋ex·＝ex.
2)∵y＝x3＋1＋，∴y′＝3x2－.
若f(x)＝xex，则f′(1)＝(
a．0 b．e
c．2e d．e2
解析：选c ∵f′(x)＝ex＋xex，∴f′(1)＝2e.
函数y＝xcos x－sin x的导数为___
解析：y′＝(xcos x)′－sin x)′
x′cos x＋x(cos x)′－cos x
cos x－xsin x－cos x
－xsin x.
答案：－xsin x
（1）曲线y＝x3＋11在点p(1，12)处的切线与y轴交点的纵坐标是( )
a．－9 b．－3
c．9d．15
2)设函数f(x)＝g(x)＋x2，曲线y＝g(x)在点(1，g(1))处的切线方程为y＝2x＋1，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处切线的斜率为( )
a．－ b．2
c．4 d．－ 自主解答] (1)y′＝3x2，故曲线在点p(1,12)处的切线斜率是3，故切线方程是y－12＝3(x－1)，令x＝0得y＝9.
2)∵曲线y＝g(x)在点(1，g(1))处的切线方程为y＝2x＋1，∴g′(1)＝k＝2.
又f′(x)＝g′(x)＋2x，f′(1)＝g′(1)＋2＝4，故切线的斜率为4.
答案] (1)c (2)c
若上题 (1)变为：曲线y＝x3＋11，求过点p(0,13)且与曲线相切的直线方程．
(1)曲线y＝x(3ln x＋1)在点(1,1)处的切线方程为___
2)(直线y＝x＋b与曲线y＝－x＋ln x相切，则b的值为( )
a．－2 b．－1
c．－ d．1
解析：(1)y′＝3ln x＋1＋3，所以曲线在点(1,1)处的切线斜率为4，所以切线方程为y－1＝4(x－1)，即y＝4x－3.
2)设切点的坐标为，依题意，对于曲线y＝－x＋ln x，有y′＝－所以－＋＝得a＝1.又切点在直线y＝x＋b上，故－＝＋b，得b＝－1.
答案：(1)y＝4x－3 (2)b
曲线y＝xln x在点(e，e)处的切线与直线x＋ay＝1垂直，则实数a的值为( )
a．2b．－2
cd．－解析：选a 依题意得y′＝1＋ln x，y′x＝e＝1＋ln e＝2，所以－×2＝－1，a＝2.
解析：选a 由v(t)＝s′(t)＝6t2－gt，a(t)＝v′(t)＝12t－g，得t＝2时，a(2)＝v′(2)＝12×2－10＝14(m/s2)．
曲线y＝x3－x＋3在点(1,3)处的切线方程为___
解析：∵y′＝3x2－1，∴y′x＝1＝3×12－1＝2.
该切线方程为y－3＝2(x－1)，即2x－y＋1＝0.
答案：2x－y＋1＝0
作业1函数f(x)＝(x＋2a)(x－a)2的导数为( )
a．2(x2－a2) b．2(x2＋a2)
c．3(x2－a2) d．3(x2＋a2)
解析：选c f′(x)＝(x－a)2＋(x＋2a)[2(x－a)]＝3(x2－a2)．
已知a为实数，函数f(x)＝x3＋ax2＋(a－2)x的导函数f′(x)是偶函数，则曲线y＝f(x)在原点处的切线方程为( )
a．y＝－3x b．y＝－2x
c．y＝3x d．y＝2x
解析：选b ∵f(x)＝x3＋ax2＋(a－2)x，f′(x)＝3x2＋2ax＋a－2.
f′(x)为偶函数，∴a＝0.
f′(x)＝3x2－2.∴f′(0)＝－2.
曲线y＝f(x)在原点处的切线方程为y＝－2x.
解析：选a ∵y′＝＝y′|x＝＝－1.由条件知＝－1，∴a＝－1.
解析：选b 设p(x0，y0)到直线y＝x－2的距离最小，则y′|x＝x0＝2x0－＝1.
得x0＝1或x0＝－ 舍)．
p点坐标(1,1)．
p到直线y＝x－2距离为d＝＝.
f(x)与g(x)是定义在r上的两个可导函数，若f(x)，g(x)满足f′(x)＝g′(x)，则f(x)与g(x)满足( )
a．f(x)＝g(x) b．f(x)＝g(x)＝0
c．f(x)－g(x)为常数函数d．f(x)＋g(x)为常数函数。
解析：选c 由f′(x)＝g′(x)，得f′(x)－g′(x)＝0，即[f(x)－g(x)]′0，所以f(x)－g(x)＝c(c为常数)．
已知函数f(x)＝ln x－f′(－1)x2＋3x－4，则f′(1
解：(1)y′＝(x·tan x)′＝x′tan x＋x(tan x)′
tan x＋x·′＝tan x＋x·
tan x＋.
2)y′＝(x＋1)′(x＋2)(x＋3)＋(x＋1)[(x＋2)(x＋3)]′x＋2)(x＋3)＋(x＋1)(x＋2)＋(x＋1)(x＋3)＝3x2＋12x＋11.
设函数f(x)＝x3＋ax2－9x－1，当曲线y＝f(x)斜率最小的切线与直线12x＋y＝6平行时，求a的值．
解：f′(x)＝3x2＋2ax－9＝32－9－，即当x＝－时，函数f′(x)取得最小值－9－，因斜率最小的切线与12x＋y＝6平行，即该切线的斜率为－12，所以－9－＝－12，即a2＝9，即a＝±3.
等比数列中，a1＝2，a8＝4，f(x)＝x(x－a1)(x－a2)…(x－a8)，f′(x)为函数f(x)的导函数，则f′(0)＝(
a．0 b．26
c．29 d．212
已知f1(x)＝sin x＋cos x，记f2(x)＝f1′(x)，f3(x)＝f2′(x)，…fn(x)＝fn－1′(x)(n∈n*，n≥2)，则f1＋f2＋…＋f2 012
解析：f2(x)＝f1′(x)＝cos x－sin x，f3(x)＝(cos x－sin x)′＝sin x－cos x，f4(x)＝－cos x＋sin x，f5(x)＝sin x＋cos x，以此类推，可得出fn(x)＝fn＋4(x)，又∵f1(x)＋f2(x)＋f3(x)＋f4(x)＝0，f1＋f2＋…＋f2 012＝503f1＋f2＋f3＋f4＝0.
答案：0已知函数f(x)＝x3－3x及y＝f(x)上一点p(1，－2)，过点p作直线l，根据以下条件求l的方程．
1)直线l和y＝f(x)相切且以p为切点；
2)直线l和y＝f(x)相切且切点异于p.
解：(1)由f(x)＝x3－3x得f′(x)＝3x2－3，过点p且以p(1，－2)为切点的直线的斜率f′(1)＝0，故所求的直线方程为y＝－2.
2)设过p(1，－2)的直线l与y＝f(x)切于另一点(x0，y0)，则f′(x0)＝3x－3.
又直线过(x0，y0)，p(1，－2)，故其斜率可表示为＝，所以＝3x－3，即x－3x0＋2＝3(x－1)(x0－1)．
解得x0＝1(舍去)或x0＝－，故所求直线的斜率为k＝3＝－.
所以l的方程为y－(－2)＝－x－1)，即9x＋4y－1＝0.
设函数f(x)＝ax－，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为7x－4y－12＝0.
1)求f(x)的解析式； (2)证明：曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形面积为定值，并求此定值．
解：(1)方程7x－4y－12＝0可化为y＝x－3，当x＝2时，y＝.又f′(x)＝a＋，则解得故f(x)＝x－.
2)证明：设p(x0，y0)为曲线上任一点，由y′＝1＋知曲线在点p(x0，y0)处的切线方程为y－y0＝·(x－x0)，即y－＝ x－x0)．
令x＝0得y＝－，从而得切线与直线x＝0的交点坐标为。
令y＝x得y＝x＝2x0，从而得切线与直线y＝x的交点坐标为(2x0,2x0)．
所以点p(x0，y0)处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形面积为|2x0|＝6.
故曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形的面积为定值，此定值为6.
导数的应用(一)
1．函数的单调性。
f(x)在(a，b)上为增函数f′(x)≥0
f(x)在(a，b)上为减函数f′(x)≤0
2．可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，]
函数y＝x2－ln x的单调递减区间为( )
a．(－1,1] b．(0,1]
c．[1，＋∞d．(0，＋∞
解析：选b 函数y＝x2－ln x的定义域为(0，＋∞y′＝x－＝，令y′≤0，则可得0．已知a>0，函数f(x)＝x3－ax在[1，＋∞上是单调增函数，则a的最大值是___
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