一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．
1．对任意x，有f′(x)＝4x3，f(1)＝－1，则此函数为( )
a．f(x)＝x4－2 b．f(x)＝x4＋2
c．f(x)＝x3 d．f(x)＝－x4
解析：对于a项，f′(x)＝4x3，且f(1)＝1－2＝－1，故a正确；而选项b中，f′(x)＝4x3，但f(1)＝3≠－1；选项c中，f′(x)＝3x2，且f(1)＝1；选项d中，f′(x)＝－4x3，所以b、c、d选项均不正确．
答案：a2．曲线y＝x3＋x－2在p点处的切线平行于直线y＝4x－1，则此切线方程为( )
a．y＝4x b．y＝4x－4
c．y＝4x＋8 d．y＝4x，或y＝4x－4
解析：由y′＝3x2＋1＝4，解得x＝±1.将x＝±1分别代入曲线方程，求得p点坐标为(1,0)或(－1，－4)，利用“点斜式”求得切线方程为y＝4x，或y＝4x－4，故选d.
答案：d3．函数f(x)＝ax3－x在(－∞内是减函数，则( )
a．a＜1 b．a＜
c．a＜0 d．a≤0
解析：f′(x)＝3ax2－1≤0恒成立．∴a≤0.
答案：d4．已知函数f(x)＝x3＋mx2＋(m＋6)x＋1既存在极大值又存在极小值，则实数m的取值范围是( )
a．(－1,2) b．(－3)∪(6，＋∞
c．(－3,6) d．(－1)∪(2，＋∞
解析：f′(x)＝3x2＋2mx＋m＋6＝0，有两个不同的实数根，于是δ＝4m2－12(m＋6)＞0，m＜－3，或m＞6.
答案：b5．若点p在抛物线y＝3x2＋4x＋2上，a(0，－3)、b(－1，－1)，要使△abp的面积最小，则p点的坐标是( )
a. b.
c．(－1,1) d．(0,2)
解析：欲使△abp的面积最小，则必须使p点到直线ab的距离最近．因此作直线ab的平行直线束与抛物线相切时的切点即为所求的点p.由导数的几何意义，得y′＝kab，即6x＋4＝－2，得x＝－1，故p点的坐标是(－1,1)．故应选c.
答案：c6．已知函数f(x)＝x3－px2－qx的图像与x轴切于(1,0)点，则f(x)的极大值、极小值分别为( )
a b．0、
c d．0、－
解析：f′(x)＝3x2－2px－q.
由f′(1)＝0，f(1)＝0，得解得。
f(x)＝x3－2x2＋x.
由f′(x)＝3x2－4x＋1＝0，得x＝，或x＝1.
进而求得当x＝时，f(x)取极大值，当x＝1时，f(x)取极小值0.
答案：a7．函数y＝x3－2ax＋a在(0,1)内有极小值，则实数a的取值范围为( )
a．(0,3) b．(－3)
c．(0d.
解析：由y′＝3x2－2a＝0，得x＝±.
由题意知，只要0＜＜1，即0＜a＜即可。
答案：d8．若函数h(x)＝2x－＋在(1，＋∞上是增函数，则实数k的取值范围是( )
a．[－2b．[2，＋∞
c．(－2] d．(－2]
解析：h′(x)＝2＋＝.由题意知，x∈(1，＋∞时，h′(x)≥0恒成立，即2x2＋k≥0恒成立，只需2＋k≥0即可，所以k∈[－2，＋∞
答案：a9．球的直径为d，其内接正四棱柱体积最大时的高为( )
a. d b. d
c. d d. d
解析：设正四棱柱的高为h，底面边长为x，如图是其组合体的轴截面图形，则。
ab＝x，bd＝d，ad＝h.
ab2＋ad2＝bd2，2x2＋h2＝d2，∴x2＝.
又v＝x2·h＝＝(d2h－h3)，v′(h)＝d2－h2.
令v′(h)＝0，得h＝d，或h＝－d(舍去)，应选c.
答案：c10．已知函数f(x)在r上可导，且f(x)＝x2＋2xf′(2)，则f(－1)与f(1)的大小关系为( )
a．f(－1)＝f(1) b．f(－1)＞f(1)
c．f(－1)＜f(1) d．以上答案都不对。
解析：f(x)＝x2＋2xf′(2)f′(x)＝2x＋2f′(2)f′(2)＝
4＋2f′(2)f′(2)＝－4，∴f(x)＝x2－8x＝(x－4)2－16，且在(－∞4]上为减函数．
－1＜1＜4，∴f(－1)＞f(1)，故选b.
答案：b11．已知函数f(x)的导数为f′(x)＝4x3－4x，且f(x)的图像过点(0，－5)，当函数f(x)取得极大值－5时，x的值应为( )
a．－1 b．0
c．1 d．±1
解析：设f(x)＝x4－2x2＋c，其中c为常数．
由于f(x)过(0，－5)，所以c＝－5，又由f′(x)＝0，得极值点为x＝0或x＝±1.
x＝0时，f(x)＝－5，故x的值为0.故选b.
答案：b12．已知函数f(x)的定义域为[－2，＋∞且f(4)＝f(－2)＝1，f′(x)是f(x)的导函数，函数y＝f′(x)的图像如图所示．则平面区域所围成的图形的面积是( )
a．2 b．4
c．5 d．8
解析：f(x)在[－2,0]上递减，在[0，＋∞上递增．又f(4)＝f(－2)＝1.
f(2a＋b)＜1－2＜2a＋b＜4.
画出平面区域，其面积s＝×2×4＝4.
答案：b二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．若函数y＝f(x)满足f(x－1)＝1－2x＋x2，则y′＝f ′(x
解析：设x－1＝t，则x＝t＋1，f(x－1)＝f(t)＝1－2(t＋1)＋(t＋1)2＝t2.即f(x)＝x2，所以f ′(x)＝2x.
答案：2x14．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝3x2＋2xf′(2)，则f′(5
解析：由f(x)＝3x2＋2xf′(2)，得f′(x)＝6x＋2f′(2)．
f′(2)＝12＋2f′(2)，f′(2)＝－12.
故f′(5)＝6×5＋2f′(2)＝30－24＝6.
答案：615．已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋2，其导数f′(x)的图像如图所示，则函数f(x)的极小值是。
解析：由题图可知，当x＝0时，f(x)取得极小值f(0)＝2.
答案：216．已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx，其导函数y＝f′(x)的图像经过点(1,0)，(2,0)，如图所示，则下列说法中不正确的是___
当x＝时函数取得极小值；
f(x)有两个极值点；
当x＝2时函数取得极小值；
当x＝1时函数取得极大值．
解析：由已知，当x∈(0,1)时，f′(x)＞0；x∈(1,2)时，f′(x)＜0；x∈(2，＋∞时，f′(x)＞0.
f(x)有两个极值点x＝1，x＝2.
极小值为f(2)，极大值为f(1)．
答案：①三、解答题：本大题共6小题，共70分．
17．(本小题满分10分)已知函数f(x)＝x3－2x2＋ax(x∈r，a∈r)，在曲线y＝f(x)的所有切线中，有且仅有一条切线l与直线x＋y＝0垂直，求曲线y＝f(x)在x＝a处的切线方程．
解析：f′(x)＝x2－4x＋a，依题意f′(x)＝1有且只有一解，由x2－4x＋a－1＝0，得δ＝16－4(a－1)＝0，∴a＝5，∴f′(a)＝f′(5)＝52－4×5＋5＝10，切点为。
故所求的切线方程为y－＝10(x－5)，即y＝10x－.
18．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋3bx＋c(b≠0)，当函数g(x)＝f(x)－2是奇函数时，确定函数f(x)的单调区间．
解析：∵函数g(x)＝f(x)－2为奇函数，∴对任意的x∈r，g(－x)＝－g(x)，即f(－x)－2＝－f(x)＋2.
又f(x)＝x3＋ax2＋3bx＋c，－x3＋ax2－3bx＋c－2＝－x3－ax2－3bx－c＋2.
f(x)＝x3＋3bx＋2.
又函数的定义域是(－∞f′(x)＝3x2＋3b(b≠0)，当b＜0时，由f′(x)＝0，得x＝±.
当x变化时，f′(x)的变化情况如下表：
当b＜0时，函数f(x)在上单调递增，在[－，上单调递减；
当b＞0时，f′(x)＞0，函数f(x)在(－∞上单调递增．
19．(本小题满分12分)设函数f(x)＝ax－，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为7x－4y－12＝0.
1)求f(x)的解析式；
2)证明：曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形面积为定值，并求此定值．
解析：(1)方程7x－4y－12＝0可化为y＝x－3.
当x＝2时，y＝.
又f′(x)＝a＋，于是解得。
故f(x)＝x－.
2)设p(x0，y0)为曲线上任一点，由y′＝1＋知曲线在点p(x0，y0)处的切线方程为。
y－y0＝(x－x0)，即y－＝(x－x0)．
令x＝0，得y＝－，从而得切线与直线x＝0的交点坐标为。
令y＝x，得y＝x＝2x0，从而得切线与直线y＝x的交点坐标为(2x0,2x0)．
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