1.(本小题10分)某工厂需要建一个面积为512 m2的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，问堆料场的长和宽各为多少时，才能使砌墙所用的材料最省？
2：．(本小题满分16分)某轮船公司争取一个相距1 000公里的甲、乙两地的客运航线权，已知轮船平均载客人数为400人，轮船每小时使用的燃料费用和轮船的航行速度的立方成正比，轮船的最大速度为25 公里/小时，当轮船的速度为10 公里/小时，它的燃料费用是每小时30元，轮船的其余费用(与速度无关)都是每小时480元，若公司打算从每个乘客身上获利10元，试为该公司设计一种较为合理的船票**．
3：．(本小题满分16分)(2010·课标全国)设函数f(x)＝ex－1－x－ax2.
1)若a＝0，求f(x)的单调区间；
2)若当x≥0时f(x)≥0，求a的取值范围．
4：［例2］在甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线河岸的岸边a处，乙厂与甲厂在河的同侧，乙厂位于离河岸40 km的b处，乙厂到河岸的垂足d与a相距50 km，两厂要在此岸边合建一个供水站c，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3a元和5a元，问供水站c建在岸边何处才能使水管费用最省？
5：． 某工厂生产某种产品，已知该产品的月生产量（吨）与每吨产品的**（元/吨）之间的关系式为：,且生产x吨的成本为（元）.问该厂每月生产多少吨产品才能。
使利润达到最大？最大利润是多少？（利润=收入─成本）
6、 已知函数是r上的奇函数，当时取得极值。
1）求的单调区间和极大值；
2）证明对任意，，不等式恒成立。
解：(1)a＝0时，f(x)＝ex－1－x，f′(x)＝ex－1.
当x∈(－0)时，f′(x)＜0；当x∈(0，＋∞时，f′(x)＞0.故f(x)在(－∞0)上单调减少，在(0，＋∞上单调增加．
2)f′(x)＝ex－1－2ax.
由(1)知ex≥1＋x，当且仅当x＝0时等号成立．
故f′(x)≥x－2ax＝(1－2a)x，从而当1－2a≥0，即a≤时，f′(x)≥0(x≥0)，而f(0)＝0，于是当x≥0时，f(x)≥0.由。
解：设轮船航行速度为v 公里/小时，则0＜v≤25.又设总费用为y元，则。
y＝480·＋·**3.(其中a为比例系数)．由条件30＝a·103，所以a＝.代入上式有。
y＝＋30v2，v∈(0,25]，所以y′＝－60v＝
令y′＝0，解得v＝20.当v＜20时，y′＜0；当v＞20时，y′＞0，又v＝20是(0,25]内唯一极值点且是极小值点，于是，当v＝20时，y有最小值36 000元．所以平均每个乘客的费用为＝90(元)．因此，该公司可定票价为100元．
3：命题意图：学习的目的，就是要会实际应用，本题主要是考查学生运用导数知识解决实际问题的意识，思想方法以及能力。
知识依托：解决实际应用问题关键在于建立数学模型和目标函数。把“问题情景”译为数学语言，找出问题的主要关系，并把问题的主要关系近似化，形式化，抽象成数学问题，再划归为常规问题，选择合适的数学方法求解。
错解分析：本题难点是如何把实际问题中所涉及的几个变量转化成函数关系式。
技巧与方法：根据题设条件作出图形，分析各已知条件之间的关系，借助图形的特征，合理选择这些条件间的****，适当选定变化，构造相应的函数关系。
解法一：根据题意知，只有点c**段ad上某一适当位置，才能使总运费最省，设c点距d点x km,则。
bd=40,ac=50－x,bc=
又设总的水管费用为y元，依题意有：
y=30(5a－x)+5a (0＜x＜50)
y′=－3a+,令y′=0,解得x=30
在(0,50)上，y只有一个极值点，根据实际问题的意义，函数在x=30(km)处取得最小值，此时ac=50－x=20(km)
供水站建在a、d之间距甲厂20 km处，可使水管费用最省。
解法二：设∠bcd=q,则bc=,cd=40cotθ,(0＜θ＜ac=50－40cotθ
设总的水管费用为f(θ)依题意，有。
f(θ)3a(50－40·cotθ)+5a·
150a+40a·
f′(θ40a·
令f′(θ0,得cosθ=
根据问题的实际意义，当cosθ=时，函数取得最小值，此时sinθ=,cotθ=,ac=50－40cotθ=20(km),即供水站建在a、d之间距甲厂20 km处，可使水管费用最省。
锦囊妙计。在某个区间内可导，若f′(x)＞0,则f(x)是增函数；若f′(x)＜0,则f(x) 是减函数。
2.求函数的极值点应先求导，然后令y′=0得出全部导数为0的点，(导数为0的点不一定都是极值点，例如：y=x3,当x=0时，导数是0，但非极值点)，导数为0的点是否是极值点，取决于这个点左、右两边的增减性，即两边的y′的符号，若改变符号，则该点为极值点；若不改变符号，则非极值点，一个函数的极值点不一定在导数为0的点处取得，但可得函数的极值点一定导数为0.
3.可导函数的最值可通过(a,b)内的极值和端点的函数值比较求得，但不可导函数的极值有时可能在函数不可导的点处取得，因此，一般的连续函数还必须和导数不存在的点的函数值进行比较，如y=|x|,在x=0处不可导，但它是最小值点。
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