本知识单元考查题型与方法：
※与切线相关问题（一设切点，二求导数=斜率=，三代切点入切线、曲线联立方程求解）；
※其它问题（一求导数，二解=0的根—若含字母分类讨论，三列3行n列的表判单调区间和极值。结合以上所得解题。）
特别强调：恒成立问题转化为求新函数的最值。导函数中证明数列型不等式注意与原函数联系构造，一对多涉及到求和转化。
关注几点：恒成立：（1）定义域任意x有》k,则》常数k；
2）定义域任意x有恰成立：（1）对定义域内任意x有恒成立，则。
2）若对定义域内任意x有：恒成立，则。
能成立：（1）分别定义在[a,b]和[c,d]上的函数，对任意的存在使得，则。
2）分别定义在[a,b]和[c,d]上的函数，对任意的存在使得，则。
一、考纲解读。
考查知识题型：导数的概念，导数的几何意义，几种常见函数的导数；
两个函数的和、差、基本导数公式，利用导数研究函数的单调性和极值，函数的最大值和最小值；证明不等式、求参数范围等。
二、热点题型分析。
题型一：利用导数研究函数的极值、最值。
1． 在区间上的最大值是 2
2．已知函数处有极大值，则常数c＝ 6 ；
3．函数有极小值 －1 ,极大值 3
题型二：利用导数几何意义求切线方程。
1．曲线在点处的切线方程是。
2．若曲线在p点处的切线平行于直线，则p点的坐标为 （1，0
3．若曲线的一条切线与直线垂直，则的方程为。
4．求下列直线的方程：
（1）曲线在p(-1,1)处的切线； （2）曲线过点p(3,5)的切线；
解：（1）所以切线方程为。
（2）显然点p（3，5）不在曲线上，所以可设切点为，则①又函数的导数为，所以过点的切线的斜率为，又切线过、p(3,5)点，所以有②，由①②联立方程组得，，即切点为（1，1）时，切线斜率为；当切点为（5，25）时，切线斜率为；所以所求的切线有两条，方程分别为。
题型三：利用导数研究函数的单调性，极值、最值。
1．已知函数的切线方程为y=3x+1
（ⅰ）若函数处有极值，求的表达式；
（ⅱ）在（ⅰ）的条件下，求函数在[－3，1]上的最大值；
（ⅲ）若函数在区间[－2，1]上单调递增，求实数b的取值范围
解：（1）由。
过的切线方程为： 而过。故
由①②③得 a=2，b=－4，c=52）
当。又在[－3，1]上最大值是13。
3）y=f(x)在[－2，1]上单调递增，又由①知2a+b=0。
依题意在[－2，1]上恒有≥0，即 当；当；
当 综上所述，参数b的取值范围是。
2．已知三次函数在和时取极值，且．
1) 求函数的表达式； (2) 求函数的单调区间和极值；
3) 若函数在区间上的值域为，试求、应满足的条件．
解：(1由题意得，是的两个根，解得，．
再由可得．∴．2) ，当时，；当时，；当时，；当时，；
当时，．∴函数在区间上是增函数；
在区间上是减函数；在区间上是增函数。函数的极大值是，极小值是． (3) 函数的图象是由的图象向右平移个单位，向上平移4个单位得到的，所以，函数在区间上的值域为（）．
而，∴，即． 于是，函数在区间上的值域为．
令得或．由的单调性知，，即．
综上所述，、应满足的条件是：，且．
3．设函数．
1）若的图象与直线相切，切点横坐标为２，且在处取极值，求实数的值；
2）当b=1时，试证明：不论a取何实数，函数总有两个不同的极值点．
解：（1） 由题意，代入上式，解之得：a=1，b=1．
2）当b=1时， 因故方程有两个不同实根． 不妨设，由可判断的符号如下：
当＞０；当＜０；当＞０
因此是极大值点，是极小值点．，当b=1时，不论a取何实数，函数总有两个不同的极值点。
题型四：利用导数研究函数的图象。
1．如右图：是f（x）的导函数， 的图象如右图所示，则f（x）的图象只可能是（ d ）
abcd）2．函数( a )
3．方程b )
a、0b、1c、2d、3
题型五：利用单调性、极值、最值情况，求参数取值范围。
1．设函数。
（1）求函数的单调区间、极值。（2）若当时，恒有，试确定a的取值范围。
解：（1）=，令得。
列表如下：在（a，3a）上单调递增，在（-∞a）和（3a，+∞上单调递减。
时，，时。2）∵，对称轴，∴在[a+1，a+2]上单调递减，依题， 即。
解得，又 ∴a的取值范围是。
2．已知函数f（x）＝x3＋ax2＋bx＋c在x＝－与x＝1时都取得极值（1）求a、b的值与函数f（x）的单调区间（2）若对x 〔－1，2〕，不等式f（x） c2恒成立，求c的取值范围。
解：（1）f（x）＝x3＋ax2＋bx＋c，f （x）＝3x2＋2ax＋b
由f （）f （1）＝3＋2a＋b＝0得a＝，b＝－2
f （x）＝3x2－x－2＝（3x＋2）（x－1），函数f（x）的单调区间如下表：
所以函数f（x）的递增区间是（－ 与（1，＋ 递减区间是（－，1）
2）f（x）＝x3－x2－2x＋c，x 〔－1，2〕，当x＝－时，f（x）＝＋c
为极大值，而f（2）＝2＋c，则f（2）＝2＋c为最大值。
要使f（x） c2（x 〔－1，2〕）恒成立，只需c2 f（2）＝2＋c，解得c －1或c 2
题型六：利用导数研究方程的根。
1．已知平面向量=(,1).
1）若存在不同时为零的实数k和t，使=+(t2－3)，=k+t，⊥，试求函数关系式k=f(t) ；
2) 据(1)的结论，讨论关于t的方程f(t)－k=0的解的情况。
解：(1)∵⊥0 即[+(t2-3) ]k+t)=0.
整理后得-k+[t-k(t2-3)] t2-3)·=0
=0，=4，=1，∴上式化为-4k+t(t2-3)=0，即k=t(t2-3)
2)讨论方程t(t2-3)-k=0的解的情况，可以看作曲线f(t)= t(t2-3)与直线y=k的交点个数。
于是f′(t)= t2-1)= t+1)(t-1).
令f′(t)=0,解得t1=-1,t2=1.当t变化时，f′(t)、f(t)的变化情况如下表：
当t=－1时，f(t)有极大值，f(t)极大值=.
当t=1时，f(t)有极小值，f(t)极小值=－
函数f(t)=t(t2-3)的图象如图13－2－1所示，可观察出：
1)当k＞或k＜－时，方程f(t)－k=0有且只有一解；
2)当k=或k=－时，方程f(t)－k=0有两解；
3) 当－＜k＜时，方程f(t)－k=0有三解。
题型七：导数与不等式的综合
1．设在上是单调函数。
1）求实数的取值范围；（2）设≥1，≥1，且，求证：.
解：（1） 若在上是单调递减函数，则须这样的实数a不存在。故在上不可能是单调递减函数。
若在上是单调递增函数，则≤，由于。从而0（2）方法1、可知在上只能为单调增函数。 若1≤，则若1≤矛盾，故只有成立。
方法2：设，两式相减得 ≥1,u≥1，2．已知为实数，函数（1）若函数的图象上有与轴平行的切线，求的取值范围（2）若，（ⅰ求函数的单调区间。
ⅱ）证明对任意的，不等式恒成立。
解：，函数的图象有与轴平行的切线，有实数解，所以的取值范围是，由或；由。
的单调递增区间是；单调减区间为。
易知的最大值为，的极小值为，又。
在上的最大值，最小值。
对任意，恒有。
题型八：导数在实际中的应用。
1．请您设计一个帐篷。它下部的形状是高为1m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3m的正六棱锥（如右图所示）。试问当帐篷的顶点o到底面中心的距离为多少时，帐篷的体积最大？
解：设oo1为，则。
由题设可得正六棱锥底面边长为：，（单位：）
故底面正六边形的面积为：=，单位：）
帐篷的体积为：（单位：）
求导得。令，解得（不合题意，舍去），当时，，为增函数；当时，，为减函数。
当时，最大。
答：当oo1为时，帐篷的体积最大，最大体积为。
2．统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量（升）关于行驶速度（千米/小时）的函数解析式可以表示为：
已知甲、乙两地相距100千米。
i）当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？
ii）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？
解：（i）当时，汽车从甲地到乙地行驶了小时，要耗没（升）。
（ii）当速度为千米/小时时，汽车从甲地到乙地行驶了小时，设耗油量为升，依题意得。
令得。当时，是减函数； 当时，是增函数。
当时，取到极小值因为在上只有一个极值，所以它是最小值。
答：当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油17.5升。当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25升。
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