常见问题1: 问题：怎样把圆和球的主要性质进行对照？解答：答：
注] 与球面只有一个公共点的平面叫做球的切面，这个公共点叫做切点。类似的，与球面只有一个公共点的直线叫做球的切线，这个公共点也叫做切点。球的切线有以下主要性质：
1. 过切点的球半径垂直于球的切线；
2. 过球面上一点的切线有无限多条，这些切线都在这一点的球的切面内。
常见问题2: 球。
问题：地球半径为r，a、b两地都在北纬45°线上，且a、b的球面距离为 ，求a、b两地经度的差。
解答：分析：如图，o为球心，o1为北纬45°小圆的圆心，知a、b的球面距离，就可求得∠aob的弧度数，进而求得线段ab的长，在δao1b中，∠ao1b的大小就是a、b两地的经度差。
解设o1是北纬45°圈的中心，a、b都在此圈上，o1a＝o1b＝ r.
a、b的球面距离为 ，∠aob＝ ＝aob为等边三角形。
ab＝r，在δao1b中，o1a2+o1b2＝ r2+ r2＝r2＝ab2，∠ao1b＝90°.
a、b两地的经度差是90°.
评析：注意搞清纬度和经度的问题，球面距离三步骤的运用是非常重要的问题。
常见问题3: 球。
问题：已知圆锥的母亲长为l，母线对圆锥底面的倾角为θ，在这个圆锥内有一内切球，球内又有一个内接的正方体，求这个内接正方体的体积。
解答：解设球半径为r，以内接正方体对角面为轴截面，如图。连接oa，∠oad＝ ，r＝od＝ad·tan ,va＝l,ad＝lcosθ,∴r＝lcosθtan ,又设正方体棱长为x，则3x2＝eg2＝4r2,x＝ r.
∴v正方体＝ (lcosθtan )3.
常见问题4: 球。
问题：如图，过半径为r的球面上一点p作三条两两垂直的弦pa、pb、pc，(1)求证：pa2+pb2+pc2为定值；(2)求三棱锥p—abc的体积的最大值。
解答：分析：先选其中两条弦pa、pb，设其确定的平面截球得⊙o1，ab是⊙o1的直径，连po1并延长交⊙o1于d，padb是矩形，pd2＝ab2＝pa2+pb2，然后只要证得pc和pd确定是大圆就可以了。
解 (1)设过pa、pb的平面截球得⊙o1，∵pa⊥pb，ab是⊙o1的直径，连po1并延长交⊙o1于d，则padb是矩形，pd2＝pa2+pb2.
设o为球心，则oo1⊥平面⊙o1，pc⊥⊙o1平面，oo1∥pc，因此过pc、pd的平面经过球心o，截球得大圆，又pc⊥pd.
cd是球的直径。
故 pa2+pb2+pc2＝pd2+pc2＝cd2＝4r2定值。
2)设pa、pb、pc的长分别为x、y、z，则三棱锥p—abc的体积v＝ xyz，v2＝ x2y2z2≤ (3＝ ·r6.
v≤ r3.
即 v最大＝ r3.
评析：定值问题可用特殊情况先“探求”，如本题(1)若先考虑pab是大圆，探求得定值4r2可为(1)的证明指明方向。
球面上任一点对球的直径所张的角等于90°，这应记作很重要的性质。
常见问题5: 球。
问题：求棱长为a的正四面体的外接球和内切球的半径。
解答：解如图，作ah⊥底面bcd于h，则ah＝ a，设内切球的球心为o，半径为r，o点与a、b、c、d相连，得四个锥体，设底面为s，则每个侧面积为s，有4· ·sr＝ s·ah，∴r＝ ah＝ a,设外接球心为o，半径r，过a点作球的半径交底面δcd于h，则h为圆bcd的圆心，求得bh＝ a,ah＝ a,由相交弦定理得 a×(2r- a)＝(a)2.
解得r＝ a.
常见问题6: 球。
问题：球面上有3个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的 ，经过3个点的小圆的周长为4π，那么这个球的半径为( )
a.4 b.2 c.2 d.
解答：解设球半径为r，小圆半径为r，则2πr＝4π,∴r＝2.如图，设三点a、b、c，o为球心，∠aob＝∠boc＝∠coa＝ ，又∵oa＝ob
δaob是等边三角形。
同理，δboc、δcoa都是等边三角形，得δabc为等边三角形。
边长等于球半径r，r为δabc的外接圆半径。
r＝ ab＝ r
r＝ r＝2
应选b.常见问题7: 球。
问题：已知球面上a、b、c三点的截面和球心的距离都是球半径的一半，且ab＝bc＝ca＝2，则球表面积是( )
a. πb. πc.4π d. π
解答：解如图，过abc三点的截面圆的圆心是o′，球心是o，连结ao′、oo′，则oo′⊥ ao′.δabc中，ab＝bc＝ca＝2，故δabc为正三角形。
ao′＝ 2＝
设球半径为r，则oa＝r，oo′＝
在rtδoao′中，oa2＝o′o2+o′a2，即r2＝ +2
r＝ 球面面积为4πr2＝ π
应选a.说明因为r＝oa＞o′a＞ ab＝1，所以球面积s＝4πr2＞4π.从而选a.
常见问题8: 球。
问题：长方体的一个顶点上的三条棱分别是，且它的八个顶点都在同一球面上，这个球的表面积是( )
a.20 π b.25 π c.50π d.200π
解答：解正方体的对角线为l，球的半径为r，则l＝2r.
得：l2＝4r2＝32+42+52＝50
从而 s球＝4πr2＝50π
应选c.常见问题9: 球。
问题：在球面上有四个点p、a、b、c.如果pa、pb、pc两两互相垂直，且pa＝pb＝pc＝a,那么这个球的表面积是 .
解答：解由已知可得pa、pb、pc实际上就是球内接正方体中交于一点的三条棱，正方体的对角线长就是球的直径，连结过点c的一条对角线cd，则cd过球心o，对角线cd＝ a.
s球表面积＝4π·(a)2＝3πa2.
常见问题10: 球。
问题：圆柱形容器的内壁底半径为5cm，两个直径为5cm的玻璃小球都浸没于容器的水中，若取出这两个小球，则容器内的水面将下降 cm.
解答：分析：球的体积等于它在容器中排开水的体积。
解设取出小球后，容器水平面将下降hcm，两小球体积为v球＝2× π52×h,v1＝ v球。
即 25πh＝ πh＝ cm.
应填 .常见问题11: 球。
问题：湖结冰时，一个球漂在其上，取出后(未弄破冰)，冰面上留下了一个直径为24cm,深为8cm的空穴，求该球的半径。
解答：解设球的半径为r，依题意知截面圆的半径r＝12,球心与截面的距离为d＝r-8，由截面性质得：r2+d2＝r2,即122+(r-8)2＝r2.
得r＝13 ∴该球半径为13cm.
常见问题12: 球。
问题：在有阳光时，一根长为3米的旗轩垂直于水平地面，它的影长为米，同时将一个半径为3米的球放在这块水平地面上，如图所示，求球的阴影部分的面积(结果用无理数表示).
解答：解：由题意知，光线与地面成60°角，设球的阴影部分面积为s，垂直于光线的大圆面积为s′，则scos30°＝s′,并且s′＝9π，所以s＝6 π(米2)
常见问题13: 球。
问题：设棱锥m—abcd的底面是正方形，且ma＝md，ma⊥ab，如果δamd的面积为1，试求能够放入这个棱锥的最大球的半径。
解答：解 ∵ab⊥ad，ab⊥ma，ab⊥平面mad，由此，面mad⊥面ac.
记e是ad的中点，从而me⊥ad.
me⊥平面ac me⊥ef
设球o是与平面mad、ac、平面mbc都相切的球。
不妨设o∈平面mef，于是o是δmef的内心。
设球o的半径为r，则r＝
设ad＝ef＝a,∵sδamd＝1.
me＝ .mf＝ ,r＝ ≤1
当且仅当a＝ ，即a＝ 时，等号成立。
当ad＝me＝ 时，满足条件的球最大半径为 -1.
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