导数问题的常见题型

导数问题的常见题型有：一、求曲线的切线方程；二、讨论函数的单调性；三、求函数的极值、最值；四、恒成立问题与存在性问题；五、与方程有关的问题；六、与函数图象的有关问题；七、证明不等式。

例1．设函数。

1）当=1时，求的单调区间；

2）若在上的最大值为，求的值。

解：对函数求导得：，定义域为（0，2）.

（1）当=1时，令，当为增区间；当为减函数。

故的单调增区间是，减区间是。

（2）当时，>0，为增函数，。

例2.已知函数。

求的单调区间；

若在处取得极值，直线与的图象有三个不同的交点，求的取值范围。

解：（1）当时，对，有当时，的单调增区间为；

当时，由解得或；由解得，故当时，的单调增区间为；单调减区间为。

2）因为在处取得极大值，所以。

所以由解得。

由（1）中的单调性可知，在处取得极大值，在处取得极小值。

因为直线与函数的图象有三个不同的交点，又，，结合的单调性可知，的取值范围是。

例3．已知函数。

ⅰ)讨论的单调性；

ⅱ）设当时，若对任意，存在，使。

求实数取值范围。

ⅱ）当时，在（0，1）上是减函数，在（1，2）上是增函数，所以对任意，有，又已知存在，使，所以，，即存在，使，即，即，所以，解得，即实数取值范围是。

例4.设函数。

1）对于任意实数，恒成立，求的最大值；

2）若方程有且仅有一个实根，求的取值范围。

解：(1) ,因为， 即恒成立，

所以 , 得，即的最大值为。

2) 因为当时， ;当时， ;当时， ;

所以当时，取极大值 ; 当时，取极小值 ；

故当或时， 方程仅有一个实根。 解得或。

例5．设函数．

ⅰ）证明：当时，；

ⅱ）设当时，，求的取值范围．

思路点拨】（ⅰ可以构造函数，利用导数单调性，求当时的最值证明不等式成立，ⅱ）可结合（ⅰ）的结论和方法证明，要注意对分类讨论。

解：（ⅰ当时，当且仅当。

令 ， 则。

当时， 是增函数； 当时，是减函数；

于是g(x)在x=0处达到最小值，因而当时，即。

所以当x>-1时，ⅱ）由题设 ，此时。

当<0时，若，则不成立；

当0时， 令，则。当且仅当。

当时，由（ⅰ）知。

(2a-1)f(x)

h(x)在是减函数，即。

当时，由⑴知x

当时，,所以h(x)>h(0)=0，即。

综上，的取值范围是[0,.

例6.设函数，其中。

i)当时，判断函数在定义域上的单调性；

ii)求函数的极值点。

解：(i) 函数的定义域为。

令，则在上递增，在上递减， 当时，在上恒成立。

即当时，函数在定义域上单调递增。

ii）分以下几种情形讨论：

1）由（i）知当时函数无极值点。

2）当时，时， 时，时，函数在上无极值点。

3）当时，解得两个不同解。

当时，此时在上有唯一的极小值点。

当时，在都大于0 ，在上小于0 ，此时有一个极大值点和一个极小值点。

综上可知，时，在上有唯一的极小值点；

时，有一个极大值点和一个极小值点；时，函数在上无极值点。

导数常见题型

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