几点说明。
1.导数定义。
导数定义与求导数的方法是本节的重点，推导导数运算法则与某些导数公式时，都是以此为依据．
对导数的定义，我们应注意以下三点：
(1)△x是自变量x在处的增量(或改变量)．
(2)导数定义中还包含了可导或可微的概念，如果△x→0时，有极限，那么函数y=f(x)在点处可导或可微，才能得到f(x)在点处的导数．
(3)如果函数y=f(x)在点处可导，那么函数y=f(x)在点处连续(由连续函数定义可知)．反之不一定成立．例如函数y=|x|在点x=0处连续，但不可导．
由导数定义求导数，是求导数的基本方法，必须严格按以下三个步骤进行：
(1)求函数的增量；
(2)求平均变化率；
(3)取极限，得导数。
2.导数的几何意义。
函数y=f(x)在点处的导数，就是曲线y=(x)在点处的切线的斜率．由此，可以利用导数求曲线的切线方程．具体求法分两步：
(1)求出函数y=f(x)在点处的导数，即曲线y=f(x)在点处的切线的斜率；
(2)在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为。
特别地，如果曲线y=f(x)在点处的切线平行于y轴，这时导数不存，根据切线定义，可得切线方程为。
导数与函数的单调性的关系。
与为增函数的关系。
能推出为增函数，但反之不一定。如函数在上单调递增，但，∴是为增函数的充分不必要条件。
时，与为增函数的关系。
若将的根作为分界点，因为规定，即抠去了分界点，此时为增函数，就一定有。∴当时，是为增函数的充分必要条件。
与为增函数的关系。
为增函数，一定可以推出，但反之不一定，因为，即为或。当函数在某个区间内恒有，则为常数，函数不具有单调性。∴是为增函数的必要不充分条件。
例1． 在处可导，则。
例2已知f(x)在x=a处可导，且f′(a)=b，求下列极限：
例3．（1）求曲线在点（1，1）处的切线方程；
（2）运动曲线方程为，求t=3时的速度。
例4．利用导数求和：
例5．（1）求证。
2） 求证
常见题型。题型一：利用导数几何意义求切线方程。
1．曲线在点处的切线方程是。
2．若曲线在p点处的切线平行于直线，则p点的坐标为 （1，0
3．若曲线的一条切线与直线垂直，则的方程为
题型二：利用导数研究函数的单调性，极值、最值。
1．已知函数的切线方程为y=3x+1
（ⅰ）若函数处有极值，求的表达式；
（ⅱ）在（ⅰ）的条件下，求函数在[－3，1]上的最大值；
（ⅲ）若函数在区间[－2，1]上单调递增，求实数b的取值范围
2．已知三次函数在和时取极值，且．
1) 求函数的表达式；
2) 求函数的单调区间和极值；
题型三：利用导数研究函数的图象。
1． f（x）的导函数的图象如右图所示，则f（x）的图象只可能是（ ）
abcd）2．函数( )
3．方程。a、0b、1c、2d、3
题型四：利用单调性、极值、最值情况，求参数取值范围。
1．设函数。
（1）求函数的单调区间、极值。
2）若当时，恒有，试确定a的取值范围。
2．已知函数f（x）＝x3＋ax2＋bx＋c在x＝－与x＝1时都取得极值（1）求a、b的值与函数f（x）的单调区间。
2）若对x〔－1，2〕，不等式f（x）c2恒成立，求c的取值范围。
题型五：导数在实际中的应用。
2024年高考山东卷理科21）（本小题满分12分）
某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：米），其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的体积为立方米，且．假设该容器的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为千元，设该容器的建造费用为千元．
ⅰ）写出关于的函数表达式，并求该函数的定义域；
ⅱ）求该容器的建造费用最小时的．
24．（2024年高考山东卷理科21）（本小题满分12分）
两县城a和b相距20km，现计划在两县城外以ab为直径的半圆弧上选择一点c建造垃圾处理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的的距离有关，对城a和城b的总影响度为城a与城b的影响度之和，记c点到城a的距离为x km，建在c处的垃圾处理厂对城a和城b的总影响度为y,统计调查表明：垃圾处理厂对城a的影响度与所选地点到城a的距离的平方成反比，比例系数为4；对城b的影响度与所选地点到城b的距离的平方成反比，比例系数为k ,当垃圾处理厂建在的中点时，对城a和城b的总影响度为0.065.
i）将y表示成x的函数；
ⅱ）讨论（i）中函数的单调性，并判断弧上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对城a和城b的总影响度最小？若存在，求出该点到城a的距离；若不存在，说明理由。
函数单调性。
1.设函数，已知是奇函数。
ⅰ）求、的值。
ⅱ）求的单调区间与极值。
设函数（理科做）
ⅰ）求的单调性；（ⅱ求在区间的最大值和最小值。
（2024年高考山东卷理科22）(本小题满分14分)
已知函数。ⅰ)当时，讨论的单调性；
2.已知函数f（x）＝x3＋ax2＋bx＋c在x＝－与x＝1时都取得极值。
1） 求a、b的值与函数f（x）的单调区间。
若对x〔－1，2〕，不等式f（x）c2恒成立，求c的取值范围。
3.设函数在及时取得极值．
ⅰ）求a、b的值；
ⅱ）若对于任意的，都有成立，求c的取值范围。
4.设函数。
ⅰ）若曲线在点处与直线相切，求的值；
ⅱ）求函数的单调区间与极值点。
5.已知函数，．
ⅰ）讨论函数的单调区间；
6.（2024年全国卷i、广西理21）已知函数。
ⅰ）设，讨论的单调性；
7.设函数。
ⅰ）求曲线在点处的切线方程；（ⅱ求函数的单调区间；
ⅲ）若函数在区间内单调递增，求的取值范围。
二、已知函数在某个区间上单调，求函数中的参数的取值范围。
这类问题常见解法有三种：
方法一：由是增解出的范围（再把此范围与已知区间比较）
方法二：由是增在已知区间上恒成立解出再转化为有关恒成立问题。
备注：有关恒成立问题，一般思维方式是：
练习：若不等式对任何实数都成立，求实数的范围。
方法三：由是增看的图象，求出最小值，使≥0
例1:要使函数在区间上是减函数，求实数的取值范围。
方法1：先求出的减区间
例2（2024年全国ⅰ即广西卷理19．文21，本小题满分12分）
已知函数，．
ⅰ）讨论函数的单调区间；（ⅱ设函数在区间内是减函数，求的取值范围．
设为实数，函数在和都是增函数，求的取值范围。
导数常见题型
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