导数常见题型一(导数的的运用之一:函数单调性)
田林中学李锦彤。
一、已知函数的解析式,讨论函数的单调区间;
二、已知函数在某个区间上单调,求函数中的参数的取值范围。
一、第一类问题注意分类讨论思想的考查。
1) 若函数的解析式已知,不需要讨论。
1、 ①求函数的单调区间 ②求的单调区间。
2、(2024年高考福建卷理科20)(本小题满分14分)
ⅰ)已知函数,
i)求函数的单调区间;
3、(06安徽卷)设函数,已知是奇函数。
ⅰ)求、的值。
ⅱ)求的单调区间与极值。
4、(07海南)设函数(理科做)
ⅰ)求的单调性;(ⅱ求在区间的最大值和最小值.
5、(06江西卷)已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c在x=-与x=1时都取得极值。
1) 求a、b的值与函数f(x)的单调区间。
2) 若对x〔-1,2〕,不等式f(x)c2恒成立,求c的取值范围。
6、(07全国一文)设函数在及时取得极值.
ⅰ)求a、b的值;
ⅱ)若对于任意的,都有成立,求c的取值范围.
7、(2009北京文)(本小题共14分)
设函数。ⅰ)若曲线在点处与直线相切,求的值;
ⅱ)求函数的单调区间与极值点。
8、(08安徽卷20).(本小题满分12分)
设函数。ⅰ)求函数的单调区间;
ⅱ)已知对任意成立,求实数的取值范围。
2) 若函数的解析式中有参数,要注意讨论。
例、(2024年全国ⅰ即广西卷理19.文21,本小题满分12分)
已知函数,.
ⅰ)讨论函数的单调区间;
解:⑴当恒成立。图①
此时为单调递增函数,单调增区间为。
当当且仅当时取“=”号。
如图②,此时为单调递增函数,单调增区间为。
当。此时,
此时,函数和。
单调减区间为。
练习、1、讨论函数的单调性(理科生做)
2、(06湖南卷)已知函数。
(i)讨论函数的单调性;
3、理科(2024年全国卷i、广西理21)已知函数。
ⅰ)设,讨论的单调性;
4、(2009北京理)(本小题共13分)
设函数。ⅰ)求曲线在点处的切线方程;(ⅱ求函数的单调区间;
ⅲ)若函数在区间内单调递增,求的取值范围。
二、已知函数在某个区间上单调,求函数中的参数的取值范围。
这类问题常见解法有三种:
方法一:由是增解出的范围(再把此范围与已知区间比较)
方法二:由是增在已知区间上恒成立解出再转化为有关恒成立问题。
备注:有关恒成立问题,一般思维方式是:
练习:若不等式对任何实数都成立,求实数的范围。
方法三:由是增看的图象,求出最小值,使≥0
例1:要使函数在区间上是减函数,求实数的取值范围。
方法1:先求出的减区间
由的导数。得∴在上是减函数。
又∵在区间上是减函数。
方法2:∵在区间上是减函数。
即。令,要使,只要。
在上最小值为。
方法3: 在区间上是减函数 ∴ 要使。
方法4:此题本应该用此方法。
∵原函数是我们会画的二次函数,∴直接从原函数的图象就可得知。
解:∵是开口向上,对称轴为的抛物线。
∴在上是减函数。
又∵在区间上是减函数。
例2(2024年全国ⅰ即广西卷理19.文21,本小题满分12分)
已知函数,.
ⅰ)讨论函数的单调区间;(ⅱ设函数在区间内是减函数,求的取值范围.
解: ⑵法一:若函数内是减函数,则在上。
恒成立等价于必有两根,且两根必在之外,如图④
点评:该方法用方程的思想,将不等式问题转化为一元二次方程的根的分布问题,结合二次函数图象的特征,列出约束条件即可。优化了解题方法,锻炼了数学思维能力。
法二:等价于方程必有两根,且两根必在之外。
此方法涉及到无理不等式的解法,许多文科生望而生畏,甚至部分理科生也都无奈放弃继续运算。
法三:若函数内是减函数,则在上恒成立,转化成即可。于是求二次函数在的最大值。函数对称轴为,结合图形⑤、⑥的单调区间,只需:
或。综上可知的取值范围是。
法四:若函数内是减函数,则在上恒成立,对上恒成立。
二次函数在给定区间上的最值问题,它由二次函数的图象的开口方向、对称轴的位置、区间的端点,结合函数的单调性来确定最大、最小值。对于“定区间、动轴”需要对动轴的位置进行分类讨论;对于“定轴、动区间”则需对动区间的位置进行分类讨论。
研究该题的解法,我们发现它将“三个二次”(二次函数、二次不等式、二次方程)有机地结合在一起,每种解法都自始至终贯穿了数形结合思想、分类讨论思想。
练习:1、已知为实数,若在上都是递增的,求的取值范围。
2、(2006全国卷i广西文21)设为实数,函数在和都是增函数,求的取值范围。
导数常见题型
几点说明。1.导数定义。导数定义与求导数的方法是本节的重点,推导导数运算法则与某些导数公式时,都是以此为依据 对导数的定义,我们应注意以下三点 1 x是自变量x在处的增量 或改变量 2 导数定义中还包含了可导或可微的概念,如果 x 0时,有极限,那么函数y f x 在点处可导或可微,才能得到f x ...
导数常见题型
导数常见题型一 导数的的运用之一 函数单调性 田林中学李锦彤。一 已知函数的解析式,讨论函数的单调区间 二 已知函数在某个区间上单调,求函数中的参数的取值范围。一 第一类问题注意分类讨论思想的考查。1 若函数的解析式已知,不需要讨论。1 求函数的单调区间 求的单调区间。2 2010年高考福建卷理科2...
导数高考常见题型
导数的应用常见题型。一 常用不等式与常见函数图像。2 常见函数图像。二 选择题中的函数图像问题。一 新型定义问题对与实数,定义运算 b 设且关于x的方程恰有三个互不相等的实数根,则的取值范围为 二 利用导数确定函数图像。已知函数,若存在唯一的零点,且,则的取值范围为 abc d 设函数 其中a1,若...