一、导数的几何意义。
例1】函数在处得切线方程为,则。
答案】。例2】(1)函数在点处的切线方程是。
2)过点的函数的切线方程是。
3)过点的函数的切线方程是。
点评】求函数的切线问题,一定要关注所给的点是不是切点,关注字眼“在”和“过”。“在”曲线上一点,该点必是切点,“过”曲线外一点,该点必不是切点,“过”曲线上一点,该点未必是切点。
答案】(1)
2)因为不在函数上,设函数的切点为,由得切线斜率。
所以切线方程为,又切线过,代入得,所以,,,切线方程为。
3)和。二、利用导数的正负性研究函数的单调性。
一)不含参数型。
例3】求下列函数的单调区间。
解:(1),令得或,令得或。
所以函数在上递增,在上递减,在上递减,在上递增。
2)。【略去解不等式过程】
函数在上递增,在上递减,在上递增。
3)【略去解不等式过程】。
函数在上递减,在上递增。
4), 令,得,令,得。
所以在上递减,在递增。
5),令得,令得。
所以在上递减,在上递增。
点评】求单调区间时,题目当中若无参数讨论,一定要把导数求对,并且把定义域标注在后面。尤其碰到这个函数的时候。要会解简单的指对不等式。
二)含有字母讨论型:主要有以下四种题型。
例4】求下列函数的单调区间。
解:(1)当时,,当时,
当时,。当时,令得或;
令得。当时,令得; 令得或。
综上知,当时,函数在上递增,在上递减;
当时,函数在上递增,在上递减,在上递增;
当时,函数在上递减,在上递增,在上递减。
点评】导数中,若项有系数时,要先讨论的情况。还要注意与的开口方向问题。
2)。有两根。
当时,恒成立。
当时,令得或;令得。
当时,令得或;令得。
综上知,当时,函数在上递增;
当时,函数在上递增,在上递减,在上递增;
当时,函数在上递增,在上递减,在上递增。
点评】当导数为二次函数时,且明确了开口方向后,若有两根,只需比较两根大小即可,不要忽略了两根相等的情况。
当时,即时,恒成立。
当时,即时,有两根。
令得或;令得。
综上知,当时,函数在上递增;
当时,函数在上递增,在递减,在上递增。
点评】若导数为二次函数,同时因式分解不能实现时,这时看看导数的判别式,针对来分类讨论,也就是分析有根的情况。为了说的清楚,把这种情况单独来说比较方便。
时,当时,,当时;
时,,当时,,当时;
时,当时,,当时,,当时,;
时, 在上恒成立;
时,当时,,当时,,当时,。
综上知,当时,函数在上递减,在上递增;
当时,函数在上递增,在上递减,在上递增;
当时,函数在上递增;
当时,函数在上递增,在上递减,在上递增。
点评】对于函数的定义域不是全体实数的函数来说,导函数一般有两个根,其中一个为定根,另一个根含有参数。其中,定义域的边界值和定根把整个数轴分成三部分。【如上题的定义域边界值“0”和定根“1”把数轴分成了三部分。
】这种情况下,只需把含参数的根从左向右依次在三部分上讨论即可,同时不要遗漏在分界点的情况。分析时,可以画图辅助分析。如下图就是上面分类的五种分析图。
三、极值问题。
一)何为极值?
例5】下图若为函数的图象,则极大值点。
为极小值点为。
下图若为的图象,则极大值点。
为极小值点为。
点评】极值是指局部最大或局部最小。极值点是能使函数取极值的值。
例6】函数。
(1)若有极值,则。
(2)若为的一个极值点,并且函数的极小值为,则。
3)若,且有3个不同的根,则。
分析】(1)有极值,不是说有解就行,而是说的值要有正有负。这需要。【】
(2)函数在处取极值,可知,可求出来。但未必是函数的极小值点,还应继续分析函数的单调性,找到在**取极小值。【】
(3)通过分析函数单调性,再求出极大值和极小值,就可以画出函数的草图,通过分析,只需并且,的图象就会和轴有3个不同的交点。【】
例7】函数有极大值,则。
解: 。当时,函数在,在,在,所以,解得。
当时,函数在,在,在,所以,解得。
点评】研究函数极值问题时,必须要分析导数的正负性,研究函数的单调性。
例8】求函数的极值。
解:。令得,列表如下:
所以,当时,,当时,当时,。
点评】求极值的解答题,一定要列表,在表中要体现导数的正负性和单调性。列表的好处是,导数的正负性可以代数试出来。
编者语】所有求单调区间的题目都可以改为求极值问题。如前面的【例3】和【例4】,要注意由【例4】改编来的求极值问题,那可是需要讨论的。
四、闭区间上函数最值问题。
例9】函数。
1)求函数在上的最值; (2)求函数在上的最值;
3)当时,求函数在上的最值。
解:。令得和。
1)当时,,,
所以,。2)当时,,,
所以,。点评】求最值,要注意,极值点不在给定区间内的点的函数值不要研究。
3)在,在,在。
当时,函数在,,;
当时,函数在,在。,最小值在与之间产生。,。
因为,所以。所以。
所以。当时,函数在,在,在。
最大值在和之间产生,最小值在和之间产生。。所以。
所以。综上知,当时,,;
当时,,;当时,。。
点评】对于本题,把函数图象草图画出来,让参数从逐步向右移动,观察图象变化,分析出最大值和最小值的产生点,问题就会迎刃而解了。
五、不单调问题。
例10】已知函数。
1)若的单调递减区间为,则。
2)若在上单调递减,则。
3)若在上不单调,则。
解:。1)的单调递减区间为,即指的解为。所以,的两根为和。进而求得或。【】
2)在上单调递减,指在上恒成立。因为开口向上的二次函数。所以只需或,解得或。【】
3)在上不单调,指在内函数值有正有负,即的函数图象要从内穿过。所以只需或,解得或。即。
六、恒成立问题。
例11】已知函数。
1)若在上单调递增,求的取值范围;
2)若在上单调递增,求的取值范围。
解:(1)在上单调递增,即在上恒成立,只需在上的最小值即可。
对称轴为,当时,只需,解得,此时无解;
当时,只需,解得;
当时,只需,解得,此时无解。
综上,在上单调递增,的取值范围是。
2)在上单调递增,即在上恒成立,即,即恒成立,又,所以在上恒成立。令,只需求在上的最小值即可。可通过研究单调性得知时,取最小值。,即。
思路点拨】函数在某区间上单调递增,是指在所给区间上恒成立,这句话一定要在解题时写上。注意是“”。
若导函数是二次函数,均可通过研究轴与区间的位置关系来求解,另外,如何能轻松的将参数分离,也是一个好办法。
思考:本题中,第一问为什么没用参数分离思想做呢?
例12】。已知对恒成立,求的取值范围。
解:在上恒成立,令,,即即可。
当,单调递减;当,单调递增。所以,当时,。所以。
点评】恒成立,不是指,而是指。
七、存在性问题。
例13】已知函数,若在区间上至少存在一点,使得成立,求实数的取值范围。
解:因为,且, 令,得到,若在区间上存在一点,使得成立,其充要条件是在区间上的最小值小于0即可。
(1)当,即时,对成立,所以,在区间上单调递减,故在区间上的最小值为, 由,得,即。
(2)当,即时,若,则对成立,所以在区间上单调递减,所以,在区间上的最小值为,显然,在区间上的最小值小于0不成立
若,即时,则有。
所以在区间上的最小值为,由,得,解得,即。
综上,由(1)(2)可知:符合题意。
点评】对于函数,若存在一点,使成立,是指在区间上的最大值大于即可;
对于函数,若存在一点,使成立,是指在区间上的最小值小于即可。
仔细想想,是不是?
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