导数常见题型一（导数的的运用之一：函数单调性）
田林中学李锦彤。
一、已知函数的解析式，讨论函数的单调区间；
二、已知函数在某个区间上单调，求函数中的参数的取值范围。
一、第一类问题注意分类讨论思想的考查。
1） 若函数的解析式已知，不需要讨论。
1、 ①求函数的单调区间 ②求的单调区间。
2、（2024年高考福建卷理科20）（本小题满分14分）
ⅰ）已知函数，
i）求函数的单调区间；
3、（06安徽卷）设函数，已知是奇函数。
ⅰ）求、的值。
ⅱ）求的单调区间与极值。
4、(07海南)设函数（理科做）
ⅰ）求的单调性；（ⅱ求在区间的最大值和最小值．
5、（06江西卷）已知函数f（x）＝x3＋ax2＋bx＋c在x＝－与x＝1时都取得极值。
1） 求a、b的值与函数f（x）的单调区间。
2） 若对x〔－1，2〕，不等式f（x）c2恒成立，求c的取值范围。
6、(07全国一文)设函数在及时取得极值．
ⅰ）求a、b的值；
ⅱ）若对于任意的，都有成立，求c的取值范围．
7、（2009北京文）（本小题共14分）
设函数。ⅰ）若曲线在点处与直线相切，求的值；
ⅱ）求函数的单调区间与极值点。
8、（08安徽卷20）．（本小题满分12分）
设函数。ⅰ）求函数的单调区间；
ⅱ）已知对任意成立，求实数的取值范围。
2） 若函数的解析式中有参数，要注意讨论。
例、（2024年全国ⅰ即广西卷理19．文21，本小题满分12分）
已知函数，．
ⅰ）讨论函数的单调区间；
解：⑴ 当恒成立。图①
此时为单调递增函数，单调增区间为。
当当且仅当时取“＝”号。
如图②，此时为单调递增函数，单调增区间为。
当。此时，
此时，函数和。
单调减区间为。
练习、1、讨论函数的单调性（理科生做）
2、（06湖南卷）已知函数。
（ｉ）讨论函数的单调性；
3、理科（2024年全国卷i、广西理21）已知函数。
ⅰ）设，讨论的单调性；
4、（2009北京理）（本小题共13分）
设函数。ⅰ）求曲线在点处的切线方程；（ⅱ求函数的单调区间；
ⅲ）若函数在区间内单调递增，求的取值范围。
二、已知函数在某个区间上单调，求函数中的参数的取值范围。
这类问题常见解法有三种：
方法一：由是增解出的范围（再把此范围与已知区间比较）
方法二：由是增在已知区间上恒成立解出再转化为有关恒成立问题。
备注：有关恒成立问题，一般思维方式是：
练习：若不等式对任何实数都成立，求实数的范围。
方法三：由是增看的图象，求出最小值，使≥0
例1:要使函数在区间上是减函数，求实数的取值范围。
方法1：先求出的减区间
由的导数。得∴在上是减函数。
又∵在区间上是减函数。
方法2：∵在区间上是减函数。
即。令，要使，只要。
在上最小值为。
方法3： 在区间上是减函数 ∴要使。
方法4：此题本应该用此方法。
∵原函数是我们会画的二次函数，∴直接从原函数的图象就可得知。
解：∵是开口向上，对称轴为的抛物线。
∴在上是减函数。
又∵在区间上是减函数。
例2（2024年全国ⅰ即广西卷理19．文21，本小题满分12分）
已知函数，．
ⅰ）讨论函数的单调区间；（ⅱ设函数在区间内是减函数，求的取值范围．
解： ⑵法一：若函数内是减函数，则在上。
恒成立等价于必有两根，且两根必在之外，如图④
点评：该方法用方程的思想，将不等式问题转化为一元二次方程的根的分布问题，结合二次函数图象的特征，列出约束条件即可。优化了解题方法，锻炼了数学思维能力。
法二：等价于方程必有两根，且两根必在之外。
此方法涉及到无理不等式的解法，许多文科生望而生畏，甚至部分理科生也都无奈放弃继续运算。
法三：若函数内是减函数，则在上恒成立，转化成即可。于是求二次函数在的最大值。函数对称轴为，结合图形⑤、⑥的单调区间，只需：
或。综上可知的取值范围是。
法四：若函数内是减函数，则在上恒成立，对上恒成立。
二次函数在给定区间上的最值问题，它由二次函数的图象的开口方向、对称轴的位置、区间的端点，结合函数的单调性来确定最大、最小值。对于“定区间、动轴”需要对动轴的位置进行分类讨论；对于“定轴、动区间”则需对动区间的位置进行分类讨论。
研究该题的解法，我们发现它将“三个二次”（二次函数、二次不等式、二次方程）有机地结合在一起，每种解法都自始至终贯穿了数形结合思想、分类讨论思想。
练习：1、已知为实数，若在上都是递增的，求的取值范围。
2、（2006全国卷i广西文21）设为实数，函数在和都是增函数，求的取值范围。
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