说明，本资料收费20分，因为下面内容全是本人手打，而且90%的内容是本人自编的。本人崇尚用最简单的题目说明最深刻的道理。若觉得有用，就不要嫌分数多了，也算对本人的支持吧。
一、导数的几何意义。
例1】函数在处得切线方程为，则。
答案】。例2】（1）函数在点处的切线方程是。
2）过点的函数的切线方程是。
3）过点的函数的切线方程是。
点评】求函数的切线问题，一定要关注所给的点是不是切点，关注字眼“在”和“过”。“在”曲线上一点，该点必是切点，“过”曲线外一点，该点必不是切点，“过”曲线上一点，该点未必是切点。
答案】（1）
2）因为不在函数上，设函数的切点为，由得切线斜率。
所以切线方程为，又切线过，代入得，所以，，，切线方程为。
3）和。二、利用导数的正负性研究函数的单调性。
一）不含参数型。
例3】求下列函数的单调区间。
解：（1），令得或，令得或。
所以函数在上递增，在上递减，在上递减，在上递增。
2）。【略去解不等式过程】
函数在上递增，在上递减，在上递增。
3）【略去解不等式过程】。
函数在上递减，在上递增。
4）， 令，得，令，得。
所以在上递减，在递增。
5），令得，令得。
所以在上递减，在上递增。
点评】求单调区间时，题目当中若无参数讨论，一定要把导数求对，并且把定义域标注在后面。尤其碰到这个函数的时候。要会解简单的指对不等式。
二）含有字母讨论型：主要有以下四种题型。
例4】求下列函数的单调区间。
解：（1）当时，，当时，
当时，。当时，令得或；
令得。当时，令得； 令得或。
综上知，当时，函数在上递增，在上递减；
当时，函数在上递增，在上递减，在上递增；
当时，函数在上递减，在上递增，在上递减。
点评】导数中，若项有系数时，要先讨论的情况。还要注意与的开口方向问题。
2）。有两根。
当时，恒成立。
当时，令得或；令得。
当时，令得或；令得。
综上知，当时，函数在上递增；
当时，函数在上递增，在上递减，在上递增；
当时，函数在上递增，在上递减，在上递增。
点评】当导数为二次函数时，且明确了开口方向后，若有两根，只需比较两根大小即可，不要忽略了两根相等的情况。
当时，即时，恒成立。
当时，即时，有两根。
令得或；令得。
综上知，当时，函数在上递增；
当时，函数在上递增，在递减，在上递增。
点评】若导数为二次函数，同时因式分解不能实现时，这时看看导数的判别式，针对来分类讨论，也就是分析有根的情况。为了说的清楚，把这种情况单独来说比较方便。
时，当时，，当时；
时，，当时，，当时；
时，当时，，当时，，当时，；
时， 在上恒成立；
时，当时，，当时，，当时，。
综上知，当时，函数在上递减，在上递增；
当时，函数在上递增，在上递减，在上递增；
当时，函数在上递增；
当时，函数在上递增，在上递减，在上递增。
点评】对于函数的定义域不是全体实数的函数来说，导函数一般有两个根，其中一个为定根，另一个根含有参数。其中，定义域的边界值和定根把整个数轴分成三部分。【如上题的定义域边界值“0”和定根“1”把数轴分成了三部分。
】这种情况下，只需把含参数的根从左向右依次在三部分上讨论即可，同时不要遗漏在分界点的情况。分析时，可以画图辅助分析。如下图就是上面分类的五种分析图。
三、极值问题。
一）何为极值？
例5】下图若为函数的图象，则极大值点。
为极小值点为。
下图若为的图象，则极大值点。
为极小值点为。
点评】极值是指局部最大或局部最小。极值点是能使函数取极值的值。
例6】函数。
（1）若有极值，则。
（2）若为的一个极值点，并且函数的极小值为，则。
3）若，且有3个不同的根，则。
分析】（1）有极值，不是说有解就行，而是说的值要有正有负。这需要。【】
（2）函数在处取极值，可知，可求出来。但未必是函数的极小值点，还应继续分析函数的单调性，找到在**取极小值。【】
（3）通过分析函数单调性，再求出极大值和极小值，就可以画出函数的草图，通过分析，只需并且，的图象就会和轴有3个不同的交点。【】
例7】函数有极大值，则。
解： 。当时，函数在，在，在，所以，解得。
当时，函数在，在，在，所以，解得。
点评】研究函数极值问题时，必须要分析导数的正负性，研究函数的单调性。
例8】求函数的极值。
解：。令得，列表如下：
所以，当时，，当时，当时，。
点评】求极值的解答题，一定要列表，在表中要体现导数的正负性和单调性。列表的好处是，导数的正负性可以代数试出来。
编者语】所有求单调区间的题目都可以改为求极值问题。如前面的【例3】和【例4】，要注意由【例4】改编来的求极值问题，那可是需要讨论的。
四、闭区间上函数最值问题。
例9】函数。
1）求函数在上的最值； （2）求函数在上的最值；
3）当时，求函数在上的最值。
解：。令得和。
1）当时，，，
所以，。2）当时，，，
所以，。点评】求最值，要注意，极值点不在给定区间内的点的函数值不要研究。
3）在，在，在。
当时，函数在，，；
当时，函数在，在。，最小值在与之间产生。，。
因为，所以。所以。
所以。当时，函数在，在，在。
最大值在和之间产生，最小值在和之间产生。。所以。
所以。综上知，当时，，；
当时，，；当时，。。
点评】对于本题，把函数图象草图画出来，让参数从逐步向右移动，观察图象变化，分析出最大值和最小值的产生点，问题就会迎刃而解了。
五、不单调问题。
例10】已知函数。
1）若的单调递减区间为，则。
2）若在上单调递减，则。
3）若在上不单调，则。
解：。1）的单调递减区间为，即指的解为。所以，的两根为和。进而求得或。【】
2）在上单调递减，指在上恒成立。因为开口向上的二次函数。所以只需或，解得或。【】
3）在上不单调，指在内函数值有正有负，即的函数图象要从内穿过。所以只需或，解得或。即。
六、恒成立问题。
例11】已知函数。
1）若在上单调递增，求的取值范围；
2）若在上单调递增，求的取值范围。
解：（1）在上单调递增，即在上恒成立，只需在上的最小值即可。
对称轴为，当时，只需，解得，此时无解；
当时，只需，解得；
当时，只需，解得，此时无解。
综上，在上单调递增，的取值范围是。
2）在上单调递增，即在上恒成立，即，即恒成立，又，所以在上恒成立。令，只需求在上的最小值即可。可通过研究单调性得知时，取最小值。，即。
思路点拨】函数在某区间上单调递增，是指在所给区间上恒成立，这句话一定要在解题时写上。注意是“”。
若导函数是二次函数，均可通过研究轴与区间的位置关系来求解，另外，如何能轻松的将参数分离，也是一个好办法。
思考：本题中，第一问为什么没用参数分离思想做呢？
例12】。已知对恒成立，求的取值范围。
解：在上恒成立，令，，即即可。
当，单调递减；当，单调递增。所以，当时，。所以。
点评】恒成立，不是指，而是指。
七、存在性问题。
例13】已知函数，若在区间上至少存在一点，使得成立，求实数的取值范围。
解：因为，且， 令，得到，若在区间上存在一点，使得成立，其充要条件是在区间上的最小值小于0即可。
（1）当，即时，对成立，所以，在区间上单调递减，故在区间上的最小值为， 由，得，即。
（2）当，即时，若，则对成立，所以在区间上单调递减，所以，在区间上的最小值为，显然，在区间上的最小值小于0不成立
若，即时，则有。
所以在区间上的最小值为，由，得，解得，即。
综上，由(1)（2）可知：符合题意。
点评】对于函数，若存在一点，使成立，是指在区间上的最大值大于即可；
对于函数，若存在一点，使成立，是指在区间上的最小值小于即可。
仔细想想，是不是？
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