易错点、学法指导及例题研究。
例1、函数是定义在r上的可导函数，则是函数在时取得极值的（b）
a、充分不必要条件 b、必要不充分条件 c、充要条件 d、既不充分也不必要条件。
例2、已知函数处有极大值，则常数c＝ 6 ；
略解：，则，时取得极大值，所以经检验 （如令）
变式引申：函数在 x=1 时有极值10，则a，b的值为（c ）
a或b或。cd、 以上都不对
略解：由题设条件得解之得。
通过验证，都合要求，故应选择a，上述解法错误，正确答案选c，注意代入检验
说明：若点；若可导函数的两侧的导数异号，则点，函数处不一定可导，如函数；函数在取得极值处，如果有切线的话，则切线是水平的，从而，但反过来不一定，如函数处，说明切线是水平的，但这点的函数值不比它附近的大，也不比它附近的小，此处不一定有极值。
例3、函数是定义在r上的可导函数，则为r上的单调增函数是的。
a、充分不必要条件 b、必要不充分条件 c、充要条件 d、既不充分也不必要条件（b）
说明：当时，函数单调递增，但单调递增，却不一定有，例如函数是r上的可导函数，它是r上的增函数，但当。
例4、函数d）
a、 有最大值，但无最小值b、有最大值、最小值
b、 c、无最大值、最小值d、无最大值，有最小值。
略解：上单调递减，所以无最大、最小值。
说明：在开区间(a,b)内连续的且可导的函数不一定有最大值与最小值，如函数。
例5、求的单调递增区间
解：由函数的定义域可知， 即。又。所以。
令，得或。综上所述，的单调递增区间为（0，1）
说明：求函数的单调区间时千万要注意定义域。
变式引申：已知，求函数的单调区间。解：令即
解不等式：，
当时，解得，时，解得：或，当时，解得，令，即。
当时，解得，当时，解得：
当时，解得或。
综上所述：在时，函数在区间内为减函数，在区间为增函数。
在时，函数在区间内为增函数，在区间为减函数，在区间内为增函数。
在时，函数在区间内为减函数，在区间内为增函数，在区间内为减函数。
说明：本题主要是在解不等式时注意对参数的讨论。
例6、已知曲线，求过点p的切线方程。
解：上， 1）当为切点时， 所求切线方程为。
2）当不是切点时，设切点为，则，又切线斜率为，所以，，解得，此时切线的斜率为1，切线方程为，综上所述，所求切线为或。
例7、求下列直线的方程：
（1）曲线在p(-1,1)处的切线； （2）曲线过点p(3,5)的切线；
解：（1）所以切线方程为。
（2）显然点p（3，5）不在曲线上，所以可设切点为，则①又函数的导数为，所以过点的切线的斜率为，又切线过、p(3,5)点，所以有②，由①②联立方程组得，，即切点为（1，1）时，切线斜率为；当切点为（5，25）时，切线斜率为；所以所求的切线有两条，方程分别为。
说明： （1）过点p的切线不能等同于在p点处的切线；（2）求出两条切线，是否可以说不在曲线上的点切线一定存在呢？答案是否定的，由例题可知切线的条数取决于关于方程（或方程组）的解的个数；（3）若函数在某点处不存在导数，不一定不存在切线，存在切线也不一定可导。
例8、方程b)
a、0b、1c、2d、3
略解：令＝由，又，故得结论。
例9、若函数在是增函数，则d）
b、 c、 d、
略解：不等式在指定区间上恒成立。
例10、函数上是增函数，则实数a 的取值范围为 （d）
略解：方法（一）＝，由题意可知当，上面不等式成立，当，当，若，不等式显然不成立，故；
方法（二）因为，由题可知当，恒成立，因为当时，，所以，所以。
变式引申1：已知为实数，。
（1）求导数；（2）若，求在上的最大值和最小值；
3）若在和上都是递增的，求的取值范围。
解：（1），2）令，解得，此时。
由，得：或，又，所以在上最大值为，最小值为。
为开口向上且过点的抛物线，由条件知：，即解得：，所以的取值范围是。
变式引申2：（2023年江西卷）已知函数f（x）＝x3＋ax2＋bx＋c在x＝－与x＝1时都取得极值。（1）求a、b的值与函数f（x）的单调区间；（2）若对x 〔－1，2〕，不等式f（x） c2恒成立，求c的取值范围。
解：（1）f（x）＝x3＋ax2＋bx＋c，f （x）＝3x2＋2ax＋b
由f （）f （1）＝3＋2a＋b＝0得，a＝，b＝－2
f （x）＝3x2－x－2＝（3x＋2）（x－1），函数f（x）的单调区间如下表：
所以函数f（x）的递增区间是（－ 与（1，＋ 递减区间是（－，1）
2）f（x）＝x3－x2－2x＋c，x 〔－1，2〕，当x＝－时，f（x）＝＋c
为极大值，而f（2）＝2＋c，则f（2）＝2＋c为最大值。
要使f（x） c2（x 〔－1，2〕）恒成立，只需c2 f（2）＝2＋c，解得c －1或c 2
变式引申3：已知，函数，设，记曲线在点处的切线为。
（i）求的方程；
ii）设与轴交点为，证明（i）（ii）若，则。
解：（i），由此得切线的方程为。
（ii）切线方程中令，有。
即其中。i)，，又。
当且仅当时，ii)当时，，，且由(i)
所以。说明：例7～例10及其变式引申1～3及解不等式以及不等式恒成立问题、方程根的问题，是导数与不等式、方程的综合题。
例11、，求a、b、c的值。
解：由题可得c＝0， 所以，由条件可知－1，1为方程＝0的根，则由韦达定理得a=0,b=-3
例12、若函数在r上有两个极值点，则实数a的取值范围为 （b）
c例13、若函数a）
例14、已知曲线轴相切于不同于原点的一点，又函数有极小值为－4，求p、q的值。
解：由题可知方程有两个不同的解，则① 则是方程的一个解，则由韦达定理知另一个解为，则曲线s经过点，解得，代入①得。
说明：以上均是导函数对应的方程根的问题，注意根的判别式及其韦达定理的使用。
例15、计算下列定积分。
解：（1）令，则原式＝
2），则＝3）原式＝
（4）原式＝
（5）原式＝=
变式引申1：已知，求值， 使。
变式引申2：
计算（1） 4 （分段函数）
（2） （利用几何意义）
说明：求定积分要能熟练取出被积函数的原函数，并注意有时要将被积函数进行适当的变形，对于分段函数要分段求，对于有些求定积分要回到其几何意义上。
例16、在曲线上的某点a处作一切线使之与曲线以及轴所围成的面积为。试求：切点a的坐标以及切线方程。
解：由题可设切点为，，则切线方程为，与轴的交点坐标为（，则由题可知有，，所以切点坐标与切线方程分别为。
说明：求一些曲边图形的面积要注意利用定积分的几何意义以及微积分基本定理，但要特别注意图形面积不是与定积分一定相等，如函数的图像与轴围成的图形的面积为4,而其定积分为0.定积分的几何意义是：
轴所围成的图形的面积的代数和，即。
五、高考题及高考模拟题研究。
1、导数的概念、微积分基本定理。
高考对导数要求了解其实际背景，作为函数在某一点处的导数的定义及导数的几何意义，对于定积分基本定理的考查，主要是定理的应用即简单计算，关键是被积函数的原函数的寻找，题型一般以选择题、解答题形式出现。
例1、的值为（ c ）
a 0 bc 2 d 4
解：令，所以。
说明：关键是原函数的寻找，要求能熟悉一些函数的导数。
例2、已知。
分析：本题考查运用导数定**决问题的能力，求一个可导函数，通常是先求出这个函数的导函数，在将代入，这是一般处理方法，‘然而在本题情况下，不易求出，此时，可返回到原始定义，直接利用函数在某一点的导数的定义来求，求法如下：
说明：对运用导数的概念求函数的导数考查较少，但这一点这是是高考要求考生必须了解的内容，随着高考对导数考查思路的逐步成熟，高考对这一点的考查会适当拓宽，如还可能在“可导与连续”、“可导与有切线”的联系处，或在导数定义的变式处设置选择题，以考查学生应用导数概念解题的能力。
2、导数、定积分的几何意义。
高考对导数的几何意义考查的要求是理解，试题一般以选择题、填空题的形式出现，常与解不等式、不等式的证明及圆锥曲线有关这是结合起来考查。小题小综合、大题大综合，尤其是导数与圆锥曲线、不等式的证明等知识的综合，数学思想丰富、解法灵活多变、方法多样。**强这方面的训练。
例3、（2023年安徽卷）若曲线的一条切线与直线垂直，则的方程为。
a． b． c． d．（
解：与直线垂直的直线为，即在某一点的导数为4，而，所以在(1，1)处导数为4，此点的切线为，故选a
分析：本题是在导数的几何意义直线的联系处命题的，根据导数的几何意义，过点m的斜率为，于是先求的导数，并利用点斜式写出的方程。
例4、（2023年江苏卷）对正整数n，设曲线在x＝2处的切线与y轴交点的纵坐标为，则数列的前n项和的公式是 ▲
导数题型汇总精华
说明，本资料收费20分，因为下面内容全是本人手打，而且90 的内容是本人自编的。本人崇尚用最简单的题目说明最深刻的道理。若觉得有用，就不要嫌分数多了，也算对本人的支持吧。一 导数的几何意义。例1 函数在处得切线方程为，则。答案 例2 1 函数在点处的切线方程是。2 过点的函数的切线方程是。3 过点的...
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