有关定积分问题的常见题型解析 全题型

题型一利用微积分基本定理求积分。

例1、求下列定积分：

分析：根据求导数与求原函数互为逆运算，找到被积函数得一个原函数，利用微积分基本公式代入求值。

解：（1）因为，所以==。

2）因为，所以 =。

练习：（1） （2）

评注：利用微积分基本定理求定积分的关键是找出的函数。

如果原函数不好找，则可以尝试找出画出函数的图像， 图像为圆或者三角形则直接求其面积。

题型二利用定积分求平面图形的面积。

例2 如图 ，求直线y=2x+3与抛物线y=x所围成的图形面积。

分析：从图形可以看出，所求图形的面积可以转化为一个梯形与一个曲边梯形面积的差，进而可以用定积分求出面积。为了确定出被积函数和积分和上、下限，我们需要求出两条曲线的交点的横坐标。

解：由方程组，可得。故所求图形面积为：

s＝－＝x＋3x）。

评注：求平面图形的面积的一般步骤：⑴画图，并将图形分割成若干曲边梯形；⑵对每个曲边梯形确定其存在的范围，从而确定积分上、下限；⑶确定被积函数；⑷求出各曲边梯形的面积和，即各积分的绝对值之和。

关键环节：①认定曲边梯形，选定积分变量；②确定被积函数和积分上下限。

知识小结：几种典型的曲边梯形面积的计算方法：

1）由三条直线x=a、x=b（a＜b）、x轴，一条曲线y=（≥0）围成的曲边梯形的面积：

s＝，如图1。

2）由三条直线x=a、x=b（a＜b）、x轴，一条曲线y=（≤0）围成的曲边梯形的面积：

s＝，如图2。

3）由两条直线x=a、x=b（a＜b）、两条曲线y=、y=（）围成的平面图形的面积：s＝，如图3。

题型三解决综合性问题。

例3、在曲线（x≥0）上某一点a处作一切线使之与曲线以及x轴所围的面积为。试求：（1）切点a的坐标；（2）过切点a的切线方程。

分析：设出切点a的坐标，利用导数的几何意义，写出切线方程，然后利用定积分求出所围成平面图形的面积，从而确定切点a的坐标，使问题解决。

解：如图，设切点a（），由＝2x，过a点的切线方程为。

y－y＝2x（x－x）,即y＝2xx－x。

令y＝0,得x=。即c（，0）。

设由曲线和过a点的切线及x轴所围成图形的面积为s，s＝s－s。

s＝， s＝｜bc｜·｜ab｜＝（x－）·x＝x，即：s＝x－x＝x＝。

所以x=1，从而切点a（1,1）,切线方程为y=2x－1。

评注：本题将导数与定积分联系起来，解题的关键是求出曲线三角形aoc的面积。

有关定积分问题的常见题型解析 全题型

题型一利用微积分基本定理求积分。例1 求下列定积分 分析 根据求导数与求原函数互为逆运算，找到被积函数得一个原函数，利用微积分基本公式代入求值。评注 利用微积分基本定理求定积分的关键是找出的函数。如果原函数不好找，则可以尝试找出画出函数的图像，图像为圆或者三角形则直接求其面积。题型二利用定积分求平面...

函数解析式问题常见题型

求函数解析式问题的归类解析。函数解析式分类总结如下 一 已知的解析式求。例1已知，求解析式。解 用代替中的得，因中的作用对象为，故，解得。所以。评析 此类问题只需用内函数的解析式代替外函数中的即得，注意由外函数的定义域即内函数的值域，求出复合函数的定义域。二 已知的解析式求的解析式。例2已知，求的解...

导数问题的常见题型

导数问题的常见题型有 一 求曲线的切线方程 二 讨论函数的单调性 三 求函数的极值 最值 四 恒成立问题与存在性问题 五 与方程有关的问题 六 与函数图象的有关问题 七 证明不等式。例1 设函数。1 当 1时，求的单调区间 2 若在上的最大值为，求的值。解 对函数求导得 定义域为 0，2 1 当 1...