题型一利用微积分基本定理求积分。
例1、求下列定积分：
分析：根据求导数与求原函数互为逆运算，找到被积函数得一个原函数，利用微积分基本公式代入求值。
评注：利用微积分基本定理求定积分的关键是找出的函数。
如果原函数不好找，则可以尝试找出画出函数的图像， 图像为圆或者三角形则直接求其面积。
题型二利用定积分求平面图形的面积。
例2 如图 ，求直线y=2x+3与抛物线y=x所围成的图形面积。
分析：从图形可以看出，所求图形的面积可以转化为一个梯形与一个曲边梯形面积的差，进而可以用定积分求出面积。为了确定出被积函数和积分和上、下限，我们需要求出两条曲线的交点的横坐标。
评注：求平面图形的面积的一般步骤：⑴画图，并将图形分割成若干曲边梯形；⑵对每个曲边梯形确定其存在的范围，从而确定积分上、下限；⑶确定被积函数；⑷求出各曲边梯形的面积和，即各积分的绝对值之和。
关键环节：①认定曲边梯形，选定积分变量；②确定被积函数和积分上下限。
知识小结：几种典型的曲边梯形面积的计算方法：
1）由三条直线x=a、x=b（a＜b）、x轴，一条曲线y=（≥0）围成的曲边梯形的面积：
s＝，如图1。
2）由三条直线x=a、x=b（a＜b）、x轴，一条曲线y=（≤0）围成的曲边梯形的面积：
s＝，如图2。
3）由两条直线x=a、x=b（a＜b）、两条曲线y=、y=（）围成的平面图形的面积：s＝，如图3。
题型三解决综合性问题。
例3、在曲线（x≥0）上某一点a处作一切线使之与曲线以及x轴所围的面积为。试求：（1）切点a的坐标；（2）过切点a的切线方程。
分析：设出切点a的坐标，利用导数的几何意义，写出切线方程，然后利用定积分求出所围成平面图形的面积，从而确定切点a的坐标，使问题解决。
评注：本题将导数与定积分联系起来，解题的关键是求出曲线三角形aoc的面积。
定积分的两种非常规用法。
定积分是新课标的新增内容，它不仅为传统的高中数学注入了新鲜血液，还给学生提供了数学建模的新思路、“用数学”的新意识，通常利用定积分可以求平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体体积、变速直线运动的路程及变力作功等。另外，利用定积分也能求物体所受的力、证明不等式。
一、求物体所受的力。
例1.矩形闸门宽a米，高h米垂直放在水中，上沿与水面平齐，则该闸门所受水的压力f等于。
其中水的密度为kg/m3，g单位是m/s2，
a. b. c. d.
二、利用积分证明不等式。
例3.求证16＜＜17.
例析定积分的解题功能。
定积分是通过无限分割、近似替代、借助求和再利用极限来达到计算的目的。在此过程中，因为无限分割，所以求和时可以近似替代即“以直代曲”、“以匀速代变速”、“以均匀代非均匀”… 这就是定积分处理问题的基本思想，下面通过具体例子来展示这种思想在解题中的具体体现。
一、求由一条曲线y=f(x)直线所围成平面图形的面积。
例1.求由曲线y= sin x与x轴在区间[0,2π]上所围成图形的面积s.
分析因为y= sin x在[0,π]上的积分为正值，在[π,2π]上的积分为负值，其面积应取绝对值．
二、求由两条曲线和直线所围成图形的面积。
例2.求曲线y=ex ,y=e-x及x=1所围成的图形面积．
分析根据条件作出图形，由曲线方程解出积分上、下限，利用图形确定被积函数，利用定积分求出面积．
三、求变速直线运动的路程。
例3 一点在直线上从时刻t=0(s)开始以速度v=t2-4t+3(m/s)运动，求：
(1)在t=4 s的位置；
(2)在t=4 s运动的路程．
四、变力作功。
例4. 由胡克定律知，把弹簧拉长所需要的力与弹簧的伸长量成正比．现已知1 n的力能使一个弹簧伸长0.01 m,求把弹簧拉长0.1 m所作的功．
五、定积分的综合应用。
例5.已知抛物线y=x2-2x及直线x=0,x=a,y=0围成的平面图形的面积为，求a的值．
分析：根据a的取值的不同分类讨论，通过解方程求解．
略谈定积分的应用。
数学在生活中诞生，在应用中发展；定积分也是如此，它从计算曲边梯形的面积开始到计算曲线的弧长，再求变速直线运动的物体的位移，到后来在几何、物理、力学等都有十分广泛的应用，充分展现了定积分的威力。当然，由于我们目前的基础知识有限，我们可以掌握的应用是有限的，本文在课本的基础上再向同学们介绍一点另外的应用，供学习时参考。
1、求面积。
例1、求由与直线所围成图形的面积。
2、求体积。
例2、将抛物线在第一象限与、所转成的平面图形绕轴旋转一周，求所得旋转体的体积。
3、物体的作功。
例3、一弹簧在弹性限度内，拉伸弹簧所用的力与弹簧伸长的长度成正比，如果的力能使弹簧伸长，求把弹簧从平衡位置拉长（在弹性限度内）时所做的功。
一道定积分问题的多种解法。
计算定积分。
解法一：（利用定积分的定义）
1）分割：把区间等份成个小区间，其长度为，把曲边梯形分成个小曲边梯形，其面积记为。
2）近似代替：用小矩形面积代替小曲边梯形面积，3）作和：。
4）求极限：。
所以。解法二：（利用定积分的几何意义）
所求定积分为由围成的图形的面积。
如图所示，所求定积分即为阴影部分的面积，且面积为。
所以。解法三：（利用微积分基本定理）
用定积分求面积的技巧。
求平面图形的面积是定积分在几何中的重要应用。把求平面图形的面积问题转化为求定积分问题，充分体现了数形结合的数学思想。求解此类题常常用到以下技巧。
一、巧选积分变量。
求平面图形面积时，要注意选择积分变量，以使计算简便。
例1 求抛物线与直线围成的平面图形的面积．
二、巧用对称性。
在求平面图形面积时，注意利用函数的奇偶性等所对应曲线的对称性解题，也是简化计算过程的常用手段。
例2 求由三条曲线所围图形的面积。
三、分割计算。
例3 求由抛物线及其在点和点处两条切线所围成的图形的面积．
用定积分求面积的两个常用公式。
求平面图形围成的面积是定积分重要应用之一，下面介绍求面积的两个常用公式及其应用．
一、两个常用公式。
公式一：由连续曲线y＝f(x)，直线x＝a，x＝b与y＝0所围成的曲边梯形的面积a为。
a＝．特别地，⑴当f(x)≥0时(如图1)，a＝；
当f(x)≤0时(如图2)，a＝－；
当f(x)有正有负时(如图3)，a＝－．
公式二：由连续曲线y＝f(x)，y＝g(x)，f(x)≥g(x)及直线x＝a，x＝b所围成的图形(如图4)的面积a为。
a＝．走出定积分运用的误区。
通过定积分与微积分基本定理部分知识的学习，初步了解定积分的概念，为以后进一步学习微积分打下基础．同时体会微积分的产生对人类文化发展的意义和价值，培养学生的创新意识和创新精神．在实际解题中，由于这部分知识的特殊性，经常会由于种种原因出现一些错误，下面结合实际加以剖析．
1．公式应用出错。
微积分基本定理为：一般地，如果是区间[a，b]上的连续函数，并且=，那么=．
2．几何意义出错。
我们知道，当函数在区间[a，b]上恒为正时，定积分的几何意义是以曲线为曲边的曲边梯形的面积．在一般情况下，定积分的几何意义是介于x轴，函数的图象以及直线x=a，x=b之间各部分面积的代数和．
3．实际应用出错。
利用定积分可以用来解决平面几何中的面积问题．其实，除几何方面外，定积分在工程物理等方面的应用也极其广泛，可以用来处理变速直线运动的路程和速度问题，也可以用来解决变力的作功问题等．
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