13.3 导数的综合问题。
知识梳理。1.若函数f（x）有导数，它的极值可在方程（x）=0的根处来考查，求函数y=f（x）的极值方法如下：
1）求导数（x）；
2）求方程（x）=0的根；
3）检查（x）在方程（x）=0的根的左右的值的符号，如果左负右正，那么函数y=f（x）在这个根处取得极小值；如果左正右负，那么函数y=f（x）在这个根处取得极大值。
2.设y=f（x）是一多项式函数，比较函数在闭区间［a，b］内所有的极值，以及f（a）和f（b），最大者为最大值，最小者为最小值。
点击双基。1.（2024年江苏，10）函数f（x）=x3－3x+1在闭区间［－3，0］上的最大值、最小值分别是。
a.1，－1b.1，－17
c.3，－17d.9，－19
解析：（x）=3x2－3=0，x=±1，f（－3）=－17，f（0）=1，f（1）=－1，f（－1）=3.
答案：c2.函数f（x）=x3－3bx+3b在（0，1）内有极小值，则。
a.0><
解析：（x）=3x2－3b，当b>0，0<<1时，适合题意。
答案：a3.已知f（x）=2x3－6x2+m（m为常数）在［－2，2］上有最大值3，那么此函数在［－2，2］上的最小值是。
a.－37b.－29
c.－5d.以上都不对。
解析：（x）=6x（x－2），f（x）在（－2，0）上为增函数，在（0，2）上为减函数的，x=0时，f（x）=m最大。
m=3，f（－2）=－37，f（2）=－5.
答案：a4.已知函数y=x3+ax2+bx+27在x=－1处有极大值，在x=3处有极小值，则a+b
解析：y′=3x2+2ax+b是3x2+2ax+b=0的两根，∴a=－3，b=－9.
答案：－12
5.设函数f（x）=x3－－2x+5.若对任意x∈［－1，2］，都有f（x）>m，则实数m的取值范围是___
解析：（x）=3x2－x－2=0，x=1，－，f（－1）=5，f（－）5，f（1）=3，f（2）=7.
m<3.
答案：m∈（－
典例剖析。例1】 （天津，20）已知函数f（x）=ax3+bx2－3x在x=±1处取得极值。
1）讨论f（1）和f（－1）是函数f（x）的极大值还是极小值；
2）过点a（0，16）作曲线y=f（x）的切线，求此切线方程。
剖析：（1）分析x=±1处的极值情况，关键是分析x=±1左右（x）的符号。
2）要分清点a（0，16）是否在曲线上。
解：（1）（x）=3ax2+2bx－3，依题意，（1）=（1）=0，即。
解得a=1，b=0.
f（x）=x3－3x，（x）=3x2－3=3（x+1）（x－1）.
令（x）=0，得x=－1，x=1.
若x∈（－1）∪（1，+∞则（x）＞0，故f（x）在（－∞1）上是增函数，f（x）在（1，+∞上是增函数。
若x∈（－1，1），则（x）＜0，故f（x）在（－1，1）上是减函数。
所以f（－1）=2是极大值，f（1）=－2是极小值。
2）曲线y=x3－3x，点a（0，16）不在曲线上，设切点m（x0，y0），则y0=x03－3x.
（x0）=3x02－3，切线方程为y－y0=3（x02－1）（x－x0）.
代入a（0，16）得16－x03+3x0=3（x02－1）（0－x0）.
解得x0=－2，∴m（－2，－2），切线方程为9x－y+16=0.
评述：过已知点求切线，当点不在曲线上时，求切点的坐标成了解题的关键。
例2】 （天津，21）已知函数f（x）=ax3+cx+d（a≠0）是r上的奇函数，当x=1时，f（x）取得极值－2.
1）求f（x）的单调区间和极大值；
2）证明：对任意x1、x2∈（－1，1），不等式|f（x1）－f（x2）|＜4恒成立。
剖析：∵x∈r且f（x）是奇函数，f（0）=0.
又x=1是极值点，∴（1）=0，由此可得函数的解析式。
1）解：由奇函数定义，应有f（－x）=－f（x），x∈r，－ax3－cx+d=－ax3－cx－d，∴d=0.
因此f（x）=ax3+cx，（x）=3ax2+c.
由题意知。解得a=1，c=－3.
f（x）=x3－3x，（x）=3x3－3=3（x－1）（x+1），（1）=（1）=0.
当x∈（－1）时，（x）＞0，故f（x）在单调区间（－∞1）上是增函数，当x∈（－1，1）时，（x）＜0，故f（x）在单调区间（－1，1）上是减函数，当x∈（1，+∞时，（x）＞0，故f（x）在单调区间（1，+∞上是增函数。
（－∞1）和（1，+∞为增区间；
－1，1）为减区间，x=－1时，f（－1）=2为极大值，x=－1时，f（1）=－2为极小值。
2）f（－1）=2，f（1）=－2.
f（x）在（－1，1）上是减函数，对任意x1、x2∈（－1，1），有－2－4评述：由奇函数定义可知当x=0时，则有f（0）=0，即函数过原点。对于本题的第（2）问，用数形结合法较为直观。
例3】 设函数f（x）=x3+mx2+nx+p在（－∞0］上是增函数，在［0，2］上是减函数，x=2是方程f（x）=0的一个根。
1）求n的值；
2）求证：f（1）≥2.
剖析：由题知x=0是极值点，那么另一个极值点在哪儿呢？是x=2吗？不一定。会在x=2的哪一侧呢？
解：（1）（x）=3x2+2mx+n.
f（x）在（－∞0］上是增函数，在［0，2］上是减函数，当x=0时，f（x）取到极大值。
（0）=0.∴n=0.
2）∵f（2）=0，∴p=－4（m+2），x）=3x2+2mx=0的两个根分别为x1=0，x2=－，函数f（x）在［0，2］上是减函数，x2=－≥2.∴m≤－3.
f（1）=m+p+1=m－4（m+2）+1=－7－3m≥2.
评述：此题学生往往错误地认为x=2是另一个极值点。再证f（1）≥2时，首先将f（1）化成关于m的式子，知道m的范围，便可证之。
例4】 对于函数y=f（x）（x∈d）若同时满足下列两个条件，则称f（x）为d上的闭函数。
f（x）在d上为单调函数；
存在闭区间［a，b］d，使f（x）在［a，b］上的值域也是［a，b］.
1）求闭函数y=－x3符合上述条件的区间［a，b］；
2）若f（x）=x3－3x2－9x+4，判断f（x）是否为闭函数。
剖析：这是个知识迁移题，这类问题一般是考查学生的类比猜想能力、探索问题的能力。
解：（1）∵y=－x3，∴y′=－3x2≤0.
函数y=－x3为减函数。
故即。所求闭区间为［－1，1］.
2）（x）=3x2－6x－9.
由（x）≥0，得x≥3或x≤－1.
由（x）≤0，得－1≤x≤3.
f（x）在定义域内不是单调函数。故f（x）不是闭函数。
评述：这类问题是近年高考命题的一个亮点，很能考查学生的分析问题、探索问题的潜在的能力。
闯关训练。夯实基础。
1.函数y=x4－8x2+2在［－1，3］上的最大值为。
a.11b.2c.12d.10
解析：y′=4x3－16x=4x（x2－4）.
由y′=0及x∈［－1，3］知x=0或x=2.
根据单调性知f（x）max=f（3）=11.
答案：a2.函数f（x）=x3+ax2+bx+c，其中a、b、c为实数，当a2－3b<0时，f（x）是。
a.增函数b.减函数。
c.常数d.既不是增函数也不是减函数。
解析：（x）=3x2+2ax+b，δ=4a2－12b<0，（x）>0，f（x）是增函数。
答案：a的极大值是___极小值是___
解析：f（x）在（－∞1）和（1，+∞上递减，在（－1，1）上递增，f（－1）=－2为极小值，f（1）=2为极大值。
答案：2 －2
4.（2024年北京西城区模拟题）如果函数y=f（x）的导函数的图象如图所示，给出下列判断：
函数y=f（x）在区间（－3，－）内单调递增；
函数y=f（x）在区间（－，3）内单调递减；
函数y=f（x）在区间（4，5）内单调递增；
当x=2时，函数y=f（x）有极小值；
当x=－时，函数y=f（x）有极大值。
则上述判断中正确的是___
答案：③5.如图所示，曲线段omb是函数f（x）=x2（0（1）试用t表示切线pq的方程；
2）试用t表示△qap的面积g（t），若函数g（t）在［m，n］上单调递减，试求出m的最小值。
解：（1）（x）=2x，k=2t，切线pq的方程为。
y－t2=2t（x－t），即2tx－y－t2=0.
2）由（1）可求得p（，0），q（6，12t－t2），g（t）=s△qap=（6－t）（12t－t2）=t3－6t2+36t（0考虑到0∴m的最小值为4.
6.直线y=a与函数f（x）=x3－3x的图象有三个互不相同的公共点，求a的取值范围。
解：先求函数f（x）的单调区间，由（x）=3x2－3=0，得x=±1.当x<－1或x>1时，（x）>0；当－1∴在（－∞1）和（1，+∞上，f（x）=x3－3x是增函数；
在（－1，1）上，f（x）=x3－3x是减函数，由此可以作出f（x）=x3－3x的草图（如图）.
由图可知，当且仅当－2 第26课导数的综合问题。1 2012福建高考 已知，且 现给出如下结论 其中正确结论的序号是。abcd 答案 c 解析 令，解得或，当时，当时，当时，时，有极大值，当时，有极小值，函数有三个零点，且，又 即，2 2012陕西高考 设函数，是由轴和曲线及该曲线在点处的切线所围成的封闭区域，则在上的最大... 一 构造法解决抽象函数问题。在导数及其应用的客观题中，有一个热点考查点，即不给出具体的函数解析式，而是给出函数f x 及其导数满足的条件，需要据此条件构造抽象函数，再根据条件得出构造的函数的单调性，应用单调性解决问题的题目，该类题目具有一定的难度 下面总结其基本类型及其处理方法 只含f x 型。定义... 导数问题的常见题型有 一 求曲线的切线方程 二 讨论函数的单调性 三 求函数的极值 最值 四 恒成立问题与存在性问题 五 与方程有关的问题 六 与函数图象的有关问题 七 证明不等式。例1 设函数。1 当 1时，求的单调区间 2 若在上的最大值为，求的值。解 对函数求导得 定义域为 0，2 1 当 1...导数的综合问题
导数的综合问题
导数问题的常见题型