中考数学重难点专题
圆与三角形问题的一证一算方式来考察。难度一般中等偏上。
例1】已知：如图，ab为⊙o的直径，⊙o过ac的中点d，de⊥bc于点e．
1）求证：de为⊙o的切线；
2）若de=2，tanc=，求⊙o的直径．
20.（1）证明：联结od． ∵d为ac中点， o为ab中点， od为△abc的中位线． ∴od∥bc1分。
de⊥bc， ∴dec=90°.
∠ode=∠dec=90°. od⊥de于点d.
de为⊙o的切线2分。
2）解：联结db． ∵ab为⊙o的直径，adb=90°． db⊥ac． ∴cdb=90°.
d为ac中点， ∴ab=ac．
在rt△dec中，∵de=2 ,tanc=, ec3分。
由勾股定理得：dc=.
在rt△dcb 中， bd=．由勾股定理得： bc=5.
ab= bc=54分
o的直径为55分。
例2】 已知：如图，为的外接圆，为的直径，作射线，使得平分，过点作于点。
1）求证：为的切线；
2）若，，求的半径。
1）证明：连接oa；
bc为⊙o的直径，ba平分∠cbf，ad⊥bf，∠adb=∠bac=90°，∠dba=∠cba；
∠oac=∠oca，∠dao=∠dab+∠bao=∠bao+∠oac=90°，da为⊙o的切线．（2）解：∵bd=1， ，ad=2，ab= =sin∠dba= ；
∠dba=∠cba，bc= ×5．
⊙o的半径为2.5．点评：本题考查了切线的判定．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．同时考查了三角函数的知识．
例3】 已知：如图，点是⊙的直径延长线上一点，点
在⊙上，且。
1）求证：是⊙的切线；
2）若点是劣弧上一点，与相交
于点，且，求⊙的半径长。
20．（本小题满分5分）
1）证明：连接。，.
是等边三角形。
1分，.2分。
又∵点在⊙上，是⊙的切线3分。
2）解：∵是⊙的直径，在中， ,设则，∴.4分，∽.
5分。例4】 如图，等腰三角形中，，．以为直径作交于点，交于点，，垂足为，交的延长线于点．
1）求证：直线是的切线；
2）求的值．
19． （本小题满分5分）
1）证明：如图，连结，则 ．
ac=bc, ∴于f，∴
ef是⊙o的切线3分。
2 ) 连结bg，∵bc是直径， ∴bgc=90=∠cfe．
bg∥ef．∴
设 ，则 ．
在rt△bga中，．
在rt△bgc中， ．
．解得 ．即 ．
在rt△bgc中， ．
sin∠e5分。
思考1】 如图，已知ab为⊙o的弦，c为⊙o上一点，∠c=∠bad，且bd⊥ab于b.
1）求证：ad是⊙o的切线；
2）若⊙o的半径为3，ab=4，求ad的长。
19．（1）证明： 如图， 连接ao并延长交⊙o于点e, 连接be, 则∠abe=90°.
∠eab+∠e=901分。
∵ ∠e =∠c, ∠c=∠bad， ∠eab+∠bad =90°.
ad是⊙o的切线2分。
2）解：由（1）可知∠abe=90°.
ae=2ao=6, ab=4,3分。
∠e=∠c=∠bad, bd⊥ab,
4分。5分。
思考2】已知：如图，ab为⊙o的弦，过点o作ab的平行线，交⊙o于点c，直线oc上一点d满足∠d=∠acb.
1）判断直线bd与⊙o的位置关系，并证明你的结论；
2）若⊙o的半径等于4，，求cd的长。
19．解：（1）直线bd与⊙o相切．
证明：如图3，连结ob1分。
∠ocb=∠cbd +∠d ，∠1=∠d，∴ 2=∠cbd．
ab∥oc ， 2=∠a ．
∠a=∠cbd．
∵ ob=oc，，，
∠obd=902分。
直线bd与⊙o相切3分。
2）解：∵ d=∠acb ，4分。
在rt△obd中，∠obd=90°，ob = 4，，，
5分。思考3】已知：如图，在△abc中，ab=ac,ae是角平分线，bm平分∠abc交ae于点m,经过b,m两点的⊙o交bc于点g,交ab于点f,fb恰为⊙o的直径。
1）求证：ae与⊙o相切；
2）当bc=4,cosc=时，求⊙o的半径。
20．（1）证明：连结，则．
平分．在中，，是角平分线，．
与相切．2）解：在中，，是角平分线，．，
在中，．设的半径为，则．，．
解得．的半径为．
思考4】如图，等腰△abc中，ac=bc，⊙o为△abc的外接圆，d为上一点，ce⊥ad于e.
求证：ae= bd +de．
21．证明：如图3，在ae上截取af=bd，连结cf、cd．
在△acf和△bcd中，1分。
∴ △acf≌△bcd2分。
cf=cd3分。
ce⊥ad于e， ef=de4分。
5分。思考5】如图，已知⊙o是△abc的外接圆，ab是⊙o的直径，d是ab延长线的一点，ae⊥cd交dc的延长线于e，cf⊥ab于f，且ce＝cf．
1） 求证：de是⊙o的切线；
2） 若ab＝6，bd＝3，求ae和bc的长．
证明：（1）连接oc；
ae⊥cd，cf⊥ab，又ce=cf，∠1=∠2．
oa=oc，∠2=∠3，∠1=∠3．
oc∥ae．
oc⊥cd．
de是⊙o的切线．（2）∵ab=6，ob=oc= ab=3．
在rt△ocd中，od=ob+bd=6，oc=3，∠d=30°，∠cod=60°．
在rt△ade中，ad=ab+bd=9，ae= ad= ．
在△obc中，∵∠cod=60°，ob=oc，bc=ob=3．
检测：1. 已知ac⊥bc于c，bc=a，ca=b，ab=c，下列选项中⊙o的半径为的是（ c ）
a． b． c． d．
考点：三角形的内切圆与内心；解一元一次方程；正方形的判定与性质；切线的性质；相似三角形的判定与性质。
分析：连接oe、od，根据ac、bc分别切圆o于e、d，得到∠oec=∠odc=∠c=90°，证出正方形oecd，设圆o的半径是r，证△odb∽△aeo，得出，代入即可求出r=；设圆的半径是x，圆切ac于e，切bc于d，且ab于f，同样得到正方形oecd，根据a﹣x+b﹣x=c，求出x即可；设圆切ab于f，圆的半径是y，连接of，则△bca∽△ofa得出，代入求出y即可．
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