涉及抽象级数敛散性的判定。
例1、对，若，则当，收敛；当，发散。
证明：当，取，当，则，有收敛；
当，取，当，则，有发散。
例2、设，证明：收敛。
提示： 由单调有界定理知，数列收敛，由此易证收敛，因，由比较审敛法知原命题成立。
注：（1）数列收敛级数收敛。
2）若递减且有下界，则，原级数收敛；
若递增且有上界，则，有收敛。
例3、对正项递减数列，发散，试问是否收敛？
提示：单调减少且有下界，故（若，与发散矛盾）由，知原级数收敛。
注：对递增数列，若，则；对递减数列，若，则。
例4、设于上有定义，在的邻域内有连续的导数，且，试讨论的敛散性。
解：由题意，，则。
当，则当，对充分大的递减且，而发散，故原级数条件收敛。
注：幂级数的收敛域为；若，连续，则当，，原级数绝对收敛。
例5、设有方程，其中n为正整数。 证明此方程存在惟一正实根，并证明当时，级数收敛。
提示： 记，由零点定理与单调性知，存在唯一正实数根。
则，故当时，，则原级数收敛。
涉及幂级数和函数的综合问题。
例1、设为曲线与所围成区域的面积，记。
求与的值。提示：，
由，令，得，。
例2、设，求极限。
解 ： 令 ，易求得，则原式。
例3、 设，（）证明：对于，幂级数。
收敛，并求其和函数。
提示：由条件易知，
由比值法知：当，即，收敛。
例4、设在内收敛，其和函数y(x)满足。
)证明： (求y(x)的表达式。
)证明：记y(x)=,代入方程有。
即化简即证。
) 解：由初始条件知， 于是根据有故y(x)=
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