20．（2024年山东省青岛市）某学校组织八年级学生参加社会实践活动，若单独租用35座客车若干辆，则刚好坐满；若单独租用55座客车，则可以少租一辆，且余45个空座位．
1）求该校八年级学生参加社会实践活动的人数；
2）已知35座客车的租金为每辆320元，55座客车的租金为每辆400元．根据租车资金不超过1500元的预算，学校决定同时租用这两种客车共4辆（可以坐不满）．请你计算本次社会实践活动所需车辆的租金．
关键词】不等式与方程问题。
答案】解：（1）设单独租用35座客车需x辆，由题意得：
解得：.（人）.
答：该校八年级参加社会实践活动的人数为175人． 3分。
2）设租35座客车y辆，则租55座客车（）辆，由题意得。
6分。解这个不等式组，得．
y取正整数，y = 2.
4－y = 4－2 = 2.
320×2＋400×2 = 1440（元）.
所以本次社会实践活动所需车辆的租金为1440元．
2024年安徽省b卷)24.（本小题满分12分）
已知：抛物线的对称轴为与轴交于两点，与轴交于点其中、
1）求这条抛物线的函数表达式．
2）已知在对称轴上存在一点p，使得的周长最小．请求出点p的坐标．
3）若点是线段上的一个动点（不与点o、点c重合）．过点d作交轴于点连接、．设的长为，的面积为．求与之间的函数关系式．试说明是否存在最大值，若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由．
关键词】二次函数解析式对称点相似三角形三角形面积。
答案】（1）由题意得。
解得。此抛物线的解析式为。
2）连结、.因为的长度一定，所以周长最小，就是使最小。点关于对称轴的对称点是点，与对称轴的交点即为所求的点。
此直线的表达式为。
把代入得。点的坐标为。
3）存在最大值。
理由：∵即。即。连结。
当时，2024年福建省晋江市）已知：如图，把矩形放置于直角坐标系中，， 取的中点，连结，把沿轴的负方向平移的长度后得到。
1)试直接写出点的坐标；
2)已知点与点在经过原点的抛物线上，点在第一象限内的该抛物线上移动，过点作轴于点，连结。
若以、、为顶点的三角形与相似，试求出点的坐标；
试问在抛物线的对称轴上是否存在一点，使得的值最大。
关键词】二次函数、相似三角形、最值问题。
答案：解：(1)依题意得：；
∵抛物线经过原点，设抛物线的解析式为。
又抛物线经过点与点。
解得：抛物线的解析式为。
点在抛物线上，设点。
1)若∽，则， ，解得：(舍去)或，点。
2)若∽，则， ，解得：(舍去)或，点。
存在点，使得的值最大。
抛物线的对称轴为直线，设抛物线与轴的另一个交点为，则点。
点、点关于直线对称，要使得的值最大，即是使得的值最大，根据三角形两边之差小于第三边可知，当、、三点在同一直线上时，的值最大。
设过、两点的直线解析式为， 解得：
直线的解析式为。
当时，.存在一点使得最大。
1.（2024年浙江省东阳市）如图，p为正方形abcd的对称中心，a（0，3），b（1，0），直线op交ab于n，dc于m，点h从原点o出发沿x轴的正半轴方向以1个单位每秒速度运动，同时，点r从o出发沿om方向以个单位每秒速度运动，运动时间为t。求：
1）c的坐标为。
2）当t为何值时，△ano与△dmr相似？
3）△hcr面积s与t的函数关系式；
并求以a、b、c、r为顶点的四边形是梯形。
时t的值及s的最大值。
关键词：相似三角形、动态问题、二次函数。
答案：（1）ｃ（
2）当∠mdr＝45０时，ｔ＝2,点ｈ（2，0）
当∠drm＝45０时，ｔ＝3,点ｈ（3，0）
当ｃｒ∥时。
当ａｒ∥时。
当ｂｒ∥时。
2010江苏宿迁）（本题满分12分）已知抛物线交x轴于a(1,0)、b(3,0)两点，交y轴于点c，其顶点为d．
1）求b、c的值并写出抛物线的对称轴；
2）连接bc，过点o作直线oe⊥bc交抛物线的对称轴于点e．
求证：四边形odbe是等腰梯形；
3）抛物线上是否存在点q，使得△obq的面积等于四边形odbe的面积的？若存在，求点q的坐标；若不存在，请说明理由．
关键词】抛物线关系式及图形的存在性问题。
答案】（1）求出：，，抛物线的对称轴为：x=23分。
2) 抛物线的解析式为，易得c点坐标为（0，3），d点坐标为（2，-1）
设抛物线的对称轴de交x轴于点f，易得f点坐标为（2，0），连接od，db，be
obc是等腰直角三角形， dfb也是等腰直角三角形，e点坐标为（2，2），∠boe= ∠obd= ∴oe∥bd
四边形odbe是梯形5分。
在和中，od= ，be=
od= be
四边形odbe是等腰梯形7分。
3) 存在8分。
由题意得9分。
设点q坐标为（x，y），由题意得： =
当y=1时，即，∴，q点坐标为（2+，1）或(2-，111分。
当y=-1时，即， ∴x=2，q点坐标为（2，-1）
综上所述，抛物线上存在三点q（2+，1），q (2-，1) ，q（2，-1）
使得12分。
(2024年浙江省绍兴市)如图，设抛物线c1:, c2:,c1与c2的交点为a, b,点a的坐标是，点b的横坐标是－2.
（1）求的值及点b的坐标；
2）点d**段ab上，过d作x轴的垂线，垂足为点h,在dh的右侧作正三角形dhg. 记过c2顶点ｍ的。
直线为，且与x轴交于点n.
若过△dhg的顶点g,点d的坐标为。
1, 2)，求点n的横坐标；
若与△dhg的边dg相交，求点n的横。
坐标的取值范围。
答案】解：（1）∵ 点a在抛物线c1上，∴ 把点a坐标代入得=1.
抛物线c1的解析式为，设b(－2,b)， b＝－4, ∴b(－2,－4
2）①如图1， m(1, 5)，d(1, 2), 且dh⊥x轴，∴ 点m在dh上，mh=5.
过点g作ge⊥dh,垂足为e,由△dhg是正三角形，可得eg=, eh=1， me＝4
设n ( x, 0 ),则 nh＝x－1,由△meg∽△mhn,得 ,,点n的横坐标为。
当点ｄ移到与点a重合时，如图2，直线与dg交于点g,此时点ｎ的横坐标最大．
过点ｇ,ｍ作x轴的垂线，垂足分别为点ｑ,f,设ｎ（x，0）， a (2, 4), g (,2), nq=，ｎf =,gq=2, mf =5.
△ngq∽△nmf,当点d移到与点b重合时，如图3，直线与dg交于点d,即点b,
此时点n的横坐标最小。
∵ b(－2, －4), h(－2, 0), d(－2, －4),设n（x，0），
△bhn∽△mfn， ∴点n横坐标的范围为≤x≤.
20. （2024年益阳市）如图9，在平面直角坐标系中，已知a、b、c三点的坐标分别为a（－2，0），b（6，0），c（0，3）.
1)求经过a、b、c三点的抛物线的解析式；
2)过ｃ点作cd平行于轴交抛物线于点d，写出d点的坐标，并求ad、bc的交点e的坐标；
3)若抛物线的顶点为ｐ，连结ｐc、ｐd，判断四边形cedp的形状，并说明理由。
关键词】二次函数、一次函数、菱形的判定。
答案】⑴ 由于抛物线经过点，可设抛物线的解析式为，则。
解得。抛物线的解析式为
的坐标为。
直线的解析式为。
直线的解析式为。
由。求得交点的坐标为
连结交于，的坐标为。
又∵， ∴，且。
∴四边形是菱形
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