24. （2012湖北恩施12分）如图，ab是⊙o的弦，d为oa半径的中点，过d作cd⊥oa交弦ab于点e，交⊙o于点f，且ce=cb．
1）求证：bc是⊙o的切线；
2）连接af，bf，求∠abf的度数；
3）如果cd=15，be=10，sina=，求⊙o的半径．
答案】解：（1）证明：连接ob，ob=oa，ce=cb，∠a=∠oba，∠ceb=∠abc。
又∵cd⊥oa，∠a+∠aed=∠a+∠ceb=90°。
∠oba+∠abc=90°。∴ob⊥bc。
bc是⊙o的切线。
2）连接of，af，bf，da=do，cd⊥oa，△oaf是等边三角形。
∠aof=60°。
∠abf=∠aof=30°。
3）过点c作cg⊥be于点g，由ce=cb，eg=be=5。
易证rt△ade∽rt△cge，sin∠ecg=sin∠a=，。
又∵cd=15，ce=13，∴de=2，由rt△ade∽rt△cge得，即，解得。
⊙o的半径为2ad=。
考点】等腰（边）三角形的性质，直角三角形两锐角的关系，切线的判定，圆周角定理，勾股定理，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数定义。
分析】（1）连接ob，有圆的半径相等和已知条件证明∠obc=90°即可证明bc是⊙o的切线。
2）连接of，af，bf，首先证明△oaf是等边三角形，再利用圆周角定理：同弧所对的圆周角是所对圆心角的一半即可求出∠abf的度数。
3）过点c作cg⊥be于点g，由ce=cb，可求出eg=be=5，由rt△ade∽rt△cge和勾股定理求出de=2，由rt△ade∽rt△cge求出ad的长，从而求出⊙o的半径。
25. （2012黑龙江哈尔滨10分）已知：在△abc中，∠acb=900，点p是线段ac上一点，过点a作ab的垂线，交bp的延长线于点m，mn⊥ac于点n，pq⊥ab于点q，a0=mn．
1）如图l，求证：pc=an；
2） 如图2，点e是mn上一点，连接ep并延长交bc于点k，点d是ab上一点，连接dk，∠dke=∠abc，ef⊥pm于点h，交bc延长线于点f，若np=2，pc=3，ck：cf=2：3，求dq的长．
答案】解：（1）证明：∵ba⊥am，mn⊥ap，∴∠bam=anm=90°。
∴∠paq+∠man=∠man+∠amn=90°，∴paq=∠amn。
pq⊥ab mn⊥ac，∴∠pqa=∠anm=90°。∴aq=mn。∴△aqp≌△mna（asa）。
an=pq，am=ap。∴∠amb=∠apm。
∠apm=∠bpc∠bpc+∠pbc=90°，∠amb+∠abm=90°，∴abm=∠pbc。
pq⊥ab，pc⊥bc，∴pq=pc（角平分线的性质）。∴pc=an。
2）∵np=2 pc=3，∴由（1）知pc=an=3。∴ap=nc=5，ac=8。
am=ap=5。∴。
∠paq=∠amn，∠acb=∠anm=90°，∴abc=∠man。
。，∴bc=6。
ne∥kc，∴∠pen=∠pkc。
又∵∠enp=∠kcp，∴△pne∽△pck。∴。
ck：cf=2：3，设ck=2k，则cf=3k。，。
过n作nt∥ef交cf于t，则四边形ntfe是平行四边形。
ne=tf=，∴ct=cf－tf=3k－。
ef⊥pm，∴∠bfh+∠hbf=90°=∠bpc+∠hbf。
∠bpc=∠bfh。
ef∥nt，∴∠ntc=∠bfh=∠bpc。
ct= 。ck=2×=3，bk=bc－ck=3。
∠pkc+∠dkc=∠abc+∠bdk，∠dke=∠abc，∴∠bdk=∠pkc。
。∴tan∠bdk=1。
过k作kg⊥bd于g。
tan∠bdk=1，tan∠abc=，∴设gk=4n，则bg=3n，gd=4n。
bk=5n=3，∴n=。∴bd=4n+3n=7n=。，aq=4，∴bq=ab－aq=6。
dq=bq－bd=6－。
考点】相似形综合题，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，解直角三角形。
分析】（1）确定一对全等三角形△aqp≌△mna，得到an=pq；然后推出bp为角平分线，利用角平分线的性质得到pc=pq；从而得到pc=an。
2）由已知条件，求出线段kc的长度，从而确定△pkc是等腰直角三角形；然后在△bdk中，解直角三角形即可求得bd、dq的长度。
26. （2012湖北**10分）如图1，⊙o是△abc的外接圆，ab是直径，od∥ac，且∠cbd=∠bac，od交⊙o于点e．
1）求证：bd是⊙o的切线；
2）若点e为线段od的中点，证明：以o、a、c、e为顶点的四边形是菱形；
3）作cf⊥ab于点f，连接ad交cf于点g（如图2），求的值．
答案】解：（1）证明：∵ab是⊙o的直径，∴∠bca=90°。∴abc+∠bac=90°。
又∵∠cbd=∠bac，∴∠abc+∠cbd=90°。∴abd=90°。∴ob⊥bd。
bd为⊙o的切线。
2）证明：如图，连接ce、oc，be，
oe=ed，∠obd=90°，∴be=oe=ed。
△obe为等边三角形。∴∠boe=60°。
又∵od∥ac，∴∠oac=60°。
又∵oa=oc，∴ac=oa=oe。∴ac∥oe且ac=oe。
四边形oace是平行四边形。
而oa=oe，∴四边形oace是菱形。
3）∵cf⊥ab，∴∠afc=∠obd=90°。
又∵od∥ac，∴∠caf=∠dob。∴rt△afc∽rt△obd。，即。
又∵fg∥bd，∴△afg∽△abd。，即。
考点】圆的综合题，圆周角定理，直角三角形两锐角的关系，切线的判定，直角三角形斜边上的中线性质，等边三角形的判定和性质，平行的判定和性质，菱形的判定，相似三角形的判定和性质。
分析】（1）由ab是⊙o的直径，根据直径所对的圆周角为直角得到∠bca=90°，则∠abc+∠bac=90°，而∠cbd=∠ba，得到∠abc+∠cbd=90°，即ob⊥bd，根据切线的判定定理即可得到bd为⊙o的切。
线。2）连接ce、oc，be，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到be=oe=ed，则△obe为等边三角形，于是∠boe=60°，又因为ac∥od，则∠oac=60°，ac=oa=oe，即有ac∥oe且ac=oe，可得到四边形oace是平行四边形，加上oa=oe，即可得到四边形oace是菱形。
3）由cf⊥ab得到∠afc=∠obd=90°，而od∥ac，则∠caf=∠dob，根据相似三角形的。
判定易得rt△afc∽rt△obd，则有，即，再由fg∥bd易证得△afg∽△abd，则，即，然后求fg与fc的比即可。
27. （2012江苏镇江11分）等边△abc的边长为2，p是bc边上的任一点（与b、c不重合），连接ap，以ap为边向两侧作等边△apd和等边△ape，分别与边ab、ac交于点m、n（如图1）。
1）求证：am=an；
2）设bp=x。
若，bm=，求x的值；
记四边形adpe与△abc重叠部分的面积为s，求s与x之间的函数关系式以及s的最小值；
连接de，分别与边ab、ac交于点g、h（如图2），当x取何值时，∠bad=150？并判断此时以dg、gh、he这三条线段为边构成的三角形是什么特殊三角形，请说明理由。
答案】解：（1）证明：∵△abc、△apd和△ape都是等边三角形，ad=ap，∠dap=∠bac=600，∠adm=∠apn=600。∴∠dam=∠pan。
adm≌△apn（asa），∴am=an。
2）易证△bpm∽△cap，∴，bn=，ac=2，cp=2－x，∴，即。
解得x=或x=。
四边形ampn的面积即为四边形adpe与△abc重叠部分的面积。
∵△adm≌△apn，∴。
如图，过点p作ps⊥ab于点s，过点d作dt⊥ap于点t，则点t是ap的中点。
在rt△bps中，∵∠p=600，bp=x，ps=bpsin600=x，bs=bpcos600=x。
ab=2，∴as=ab－bc=2－x。
当x=1时，s的最小值为。
连接pg，设de交ap于点o。
若∠bad=150，∠dap =600，∴∠pag =450。
△apd和△ape都是等边三角形，ad=dp=ap=pe=ea。
四边形adpe是菱形。
do垂直平分ap。
gp=ag。∴∠apg =∠pag =450。
∠pga =900。
设bg=t，在rt△bpg中，∠b=600，∴bp=2t，pg=。∴ag=pg=。，解得t=－1。∴bp=2t=2－2。
当bp=2－2时，∠bad=150。
猜想：以dg、gh、he这三条线段为边构成的三角形是直角三角形。
四边形adpe是菱形，∴ao⊥de，∠ado=∠aeh=300。
∠bad=150，∴易得∠ago=450，∠hao=150，∠eah=450。
设ao=a，则ad=ae=2 a，od=a。∴dg=do－go=（－1）a。
又∵∠bad=150，∠bac=600，∠ado=300，∴∠dha=∠dah=750。
dh=ad=2a，gh=dh－dg=2a－（－1）a=（3－）a，he=2do－dh=2a－2a=2（－1）a。，。
以dg、gh、he这三条线段为边构成的三角形是直角三角形。
考点】等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解一元二次方程，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，二次函数的最值，菱形的判定和性质，勾股定理和逆定理。
分析】（1）由△abc、△apd和△ape都是等边三角形可得边角的相等关系，从而用asa证明。
（2）由△bpm∽△cap，根据对应边成比例得等式，解方程即可。
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