高中数学学习材料。
马鸣风萧萧*整理制作。
江苏省梁丰高级中学2015届考前指导材料（解析几何综合问题）
一、填空题：
1. 已知双曲线的左、右焦点分别为，以为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为，则此双曲线的方程为。
2．已知点为圆上的动点，点到某直线的最大距离为5．若。
在直线上任取一点作圆的切线，切点为，则的最小值是___
3．已知直线：上存在点满足与两点)连线的斜率与。
之积为－，则实数的取值范围是。
4．椭圆c:的左、右焦点分别是，为椭圆上一点，，与y轴交与点，若，则椭圆离心率的值为。
二、解答题。
5．如图，在平面直角坐标系中，a，b分别是椭圆g:的左、右顶点，为直线上的一个动点，过点p任意作一条直线与椭圆g交于c，d，直线po分别与直线ac，ad交于e，f.
1）当直线恰好经过椭圆g的右焦点和上顶点时，求的值；
2）记直线ac，ad的斜率分别为。
若，求证：为定值；
求证：四边形afbe为平行四边形。
6.如图，已知椭圆，点b是其下顶点，过点b的直线交椭圆c于另一点a（a点在轴下方），且线段ab的中点e在直线上。
1）求直线ab的方程；
2）若点p为椭圆c上异于a、b的动点，且直线ap,bp分别交直线于点m、n，证明：om·on为定值。
7． 已知椭圆e：＋＝1过点d(1，)，且右焦点为f(1,0)，右顶点为a．过点f的弦为bc．直线ba，直线ca分别交直线l:x＝m,(m＞2)于pq两点．
1）求椭圆方程；
2）若fp⊥fq，求m的值．
8．已知椭圆c：＋＝1(a＞b＞0) 的离心率e＝，右焦点下顶点左顶点分别为f2，b，a．ab＝．直线l交椭圆c于p，q两点，直线ap与bq交于点m．
1）求a，b的值；
2）当bp过点f2时，求过abp三点的圆的方程；
（3）当＝时，求f2m的最小值．
答案与提示。
1、【提示】双曲线渐近线方程为，双曲线可以设为，即，因为。所以双曲线的方程为。
2、【提示】由到直线的最大距离为5，得圆心到直线的距离为3，从而直线与圆相离．过引圆的切线长．
3、【提示】点的轨迹为．把直线：代入椭圆方程得，．根据条件，上面方程有非零解，得，解得．
4、提示：设，，因为，所以，解得，又因为，所以，解得，因为点在椭圆上，所以，即，又即，从而，解得。
5、解（1）由题意：上顶点，右焦点，所以，令，得。
2）直线与联立，得，同理得，由三点共线得，即，化简得，时，（定值）
要证四边形afbe为平行四边形，即只需证e，f的中点即点o，由得，同理，将分别代入得，所以，.即四边形afbe为平行四边形。
6．解：（1）设点e（m，m），由b（0，－2）得a（2m，2m+2）．
代入椭圆方程得，即，解得或（舍）．所以a（，）故直线ab的方程为．
2）设，则，即．
设，由a，p，m三点共线，即， ，又点m在直线y=x上，解得m点的横坐标，设，由b，p，n三点共线，即，∴，
点n在直线y=x上，，解得n点的横坐标．
所以om·on==＝2
7、解：（1）＋＝1,a2－b2＝1,解之得a2＝4，b2＝3，所以椭圆方程为＋＝1；
2）设b(x0，y0)，则bc：y＝(x－1)，联立e：＋＝1联立得：
解得x＝x0，y＝y0或x＝，y＝，所以c(,)kabkac＝＝＝显然kab＝kap,kac＝kaq，所以kapkaq＝－．设q(m,y1)，kfq＝＝＝kaq，同理kfp＝kap．所以kfp kfq＝()2kapkaq＝－(2＝－1,又m＞2，所以＝，所以m＝4．
8、解：（1）根据条件得，解得a＝，b＝1．
2）由（1）知，f2，b的坐标分别为(1，0)，(0，－1)．所以bp方程为y＝x－1．
代入c：＋y2＝1得3x2－4x＝0，解得x1＝0，x2＝．所以p(，)
设过a，b，p三点的圆的方程为x2＋y2＋dx＋ey＋f＝0，将a(－，0)，b(0，－1)，p(，)代入得， 解得
所以所求圆的方程为x2＋y2＋(－1)x－(＋1)y－(＋4)＝0．
（3）设p，q，m的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，(x0，y0)，且＝＝λ根据条件得，＝λ由＝λ得，即(x0＋，y0)＝λx1－x0，y1－y0)．所以解得
同理，由＝λ得，，因为p(x1，y1)在椭圆c上，所以x12＋2y12＝2．代入得，[(1＋)x0＋]2＋2[(1＋)y0]2＝2．同理得，[(1＋)x0]2＋2[(1＋)y0＋]2＝2．
把上面两式相减得，(1＋)(x0－y0)＝0．因为1＋≠0，所以x0－y0＝0．即点m 的轨迹是直线x－y＝0在椭圆内的一段．所以f2m的最小值即为f2到直线x－y＝0距离．即f2mmin＝＝．
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