经典例题：
例1.如图甲，四边形oabc的边oa、oc分别在x轴、y轴的正半轴上，顶点在b点的抛物线交x轴于点a、d，交y轴于点e，连结ab、ae、be．
已知tan∠cbe＝，a(3，0)，d(－1，0)，e(0，3)．
1)求抛物线的解析式及顶点b的坐标；
2)求证：cb是△abe外接圆的切线；
3)试**坐标轴上是否存在一点p，使以d、e、p为顶点的三角形与△abe相似，若存在，直接写出点p的坐标；若不存在，请说明理由；
4)设△aoe沿x轴正方向平移t个单位长度(0＜t≤3)时，△aoe与△abe重叠部分的面积为s，求s与t之间的函数关系式，并指出t的取值范围．
解析】 (1)解：由题意，设抛物线解析式为y＝a(x－3)(x＋1)．
将e(0，3)代入上式，解得：a＝－1．
y＝－x2＋2x＋3．
则点b(1，42分。
2)如图6，证明：过点b作bm⊥y于点m，则m (0，4)．
在rt△aoe中，oa＝oe＝3，∠1＝∠2＝45°，ae＝＝3．
在rt△emb中，em＝om－oe＝1＝bm，∠meb＝∠mbe＝45°，be＝＝．
∠bea＝180°－∠1－∠meb＝90°．
ab是△abe外接圆的直径3分。
在rt△abe中，tan∠bae＝＝＝tan∠cbe，∠bae＝∠cbe．
在rt△abe中，∠bae＋∠3＝90°，∴cbe＋∠3＝90°．
∠cba＝90°，即cb⊥ab．
cb是△abe外接圆的切线5分。
3)p1(0，0)，p2(9，0)，p3(08分。
4)解：设直线ab的解析式为y＝kx＋b．
将a(3，0)，b(1，4)代入，得解得。
y＝－2x＋6．
过点e作射线ef∥x轴交ab于点f，当y＝3时，得x＝，∴f(，3)．…9分。
情况一：如图7，当0＜t≤时，设△aoe平移到△dnm的位置，md交ab于点h，mn交ae于点g．则on＝ad＝t，过点h作lk⊥x轴于点k，交ef于点l．
由△ahd∽△fhm，得．即．解得hk＝2t．
s阴＝s△mnd－s△gna－s△had＝×3×3－(3－t)2－t·2t＝－t2＋3t．……11分。
情况二：如图8，当＜t≤3时，设△aoe平移到△pqr的位置，pq交ab于点i，交ae于点v．由△iqa∽△ipf，得．即．解得iq＝2(3－t)．
s阴＝s△iqa－s△vqa＝×(3－t)×2(3－t)－(3－t)2＝(3－t)2＝t2－3t＋．
综上所述：s12分。
答案】(1) y＝－x2＋2x＋3， b(1，4)；
2) 证明：如图，过点b作bm⊥y于点m，则m (0，4)．
在rt△aoe中，oa＝oe＝3，∠1＝∠2＝45°，ae＝＝3．
在rt△emb中，em＝om－oe＝1＝bm，∠meb＝∠mbe＝45°，be＝＝．
∠bea＝180°－∠1－∠meb＝90°．
ab是△abe外接圆的直径3分。
在rt△abe中，tan∠bae＝＝＝tan∠cbe，∠bae＝∠cbe．
在rt△abe中，∠bae＋∠3＝90°，∴cbe＋∠3＝90°．
∠cba＝90°，即cb⊥ab．
cb是△abe外接圆的切线．
3)p1(0，0)，p2(9，0)，p3(0，－)
4) s＝点评】本题以平面直角坐标系为背景，综合考察了二次函数、直线与圆的位置关系、锐角三角函数、三角形相似、勾股定理、待定系数法、分类讨论等知识，而且是中考的压轴题。知识点丰富全面，考查了学生综合运用知识、分类讨论思想来解决问题的能力。第1小题常规题，利用待定系数法求二次函数的解析式，难度较低；第2小题是利用勾股定理、锐角三角函数、90°的圆周角所对的弦是直径、等量代换等证明圆的切线，综合性较强，难度中等；第3小题，考察了分类讨论思想，在坐标轴上找点，构造寻找相似三角形，难度中等；第4小题，利用分类讨论思想、二次函数、和差法计算阴影部分面积，是压轴题的最后一题，将中下层面的学生拒之题外，难度较大。
跟踪训练：1．(2013贵州六盘水)下列命题为真命题的是（ ▲
a．平面内任意三个点确定一个圆。
b．五边形的内角和为540°
c．如果a>b,则ac2>bc2
d．如果两条直线被第三条直线所截那么所截得的同位角相等。
2. （2013贵州省毕节市）下列命题是假命题的是（ ）
a.同弧或等弧所对的圆周角相等b.平分弦的直径垂直于弦。
c.两条平行线间的距离处处相等d.正方形的两条对角线互相垂直平分。
3. (2024年四川省巴中市)如图12，在平面直角坐标系中，点a、c分别在x轴、y轴上，四边形abco为矩形，ab=16，点d与点a关于y轴对称，tan∠acb=,点e、f分别是线段ad、ac上的动点（点e不与点a、d重合），且∠cef=∠acb.
1)求ac的长和点d的坐标；
2）说明△aef与△dce相似；
3）当△efc为等腰三角形时，求点e的坐标。
4.（2013河南）如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线交于a，b两点，点a在轴上，点b的纵坐标为3.点p是直线ab下方的抛物线上一动点（不与a，b重合），过点p作轴的垂线交直线ab与点c，作pd⊥ab于点d
1）求及的值。
2）设点p的横坐标为。
①用含的代数式表示线段pd的长，并求出线段pd长的最大值；
②连接pb，线段pc把△pbd分成。
两个三角形，是否存在适合的值，使这两个三角形的面积之比为9:10？
若存在，直接写出值；若不存在，说明理由。
5．(2013江苏苏州)如图，已知半径为2的⊙o与直线l相切于点a，点p是直径ab左侧半圆上的动点，过点p作直线l的垂线，垂足为c，pc与⊙o交于点d，连接pa、pb，设pc的长为x（2＜x＜4）．
1）当x=时，求弦pa、pb的长度；
2）当x为何值时，pdcd的值最大？最大值是多少？
6.（2013·哈尔滨） 已知：在△abc中，∠acb=900，点p是线段ac上一点，过点a作ab的垂线，交bp的延长线于点m，mn⊥ac于点n，pq⊥ab于点q，a0=mn．
(1)如图l，求证：pc=an；
(2)如图2，点e是mn上一点，连接ep并延长交bc于点k，点d是ab上一点，连接dk，∠dke=∠abc，ef⊥pm于点h，交bc延长线于点f，若np=2，pc=3，ck：cf=2：3，求dq的长．
7．（2013四川达州）如图1，在直角坐标系中，已知点a（0，2）、点b（-2，0），过点b和线段oa的中点c作直线bc，以线段bc为边向上作正方形bcde.
1）填空：点d的坐标为（ ）点e的坐标为（ ）
2）若抛物线经过a、d、e三点，求该抛物线的解析式。
3）若正方形和抛物线均以每秒个单位长度的速度沿射线bc同时向上平移，直至正方形的顶点e落在轴上时，正方形和抛物线均停止运动。
在运动过程中，设正方形落在y轴右侧部分的面积为，求关于平移时间（秒）的函数关系式，并写出相应自变量的取值范围。
运动停止时，求抛物线的顶点坐标。
8．(2013江苏苏州)如图，正方形abcd的边ad与矩形efgh的边fg重合，将正方形abcd以1cm/s的速度沿fg方向移动，移动开始前点a与点f重合，在移动过程中，边ad始终与边fg重合，连接cg，过点a作cg的平行线交线段gh于点p，连接pd．已知正方形abcd的边长为1cm，矩形efgh的边fg，gh的长分别为4cm，3cm，设正方形移动时间为x（s），线段gp的长为y（cm），其中0≤x≤2.5．
1）试求出y关于x的函数关系式，并求当y=3时相应x的值；
2）记△dgp的面积为s1，△cdg的面积为s2．试说明s1﹣s2是常数；
3）当线段pd所在直线与正方形abcd的对角线ac垂直时，求线段pd的长．
9.（2013深圳市）如图9—①，平在面直角从标系中，直线的位置随的不同取值而变化。
1）已知⊙m的圆心坐标为（4，2），半径为2
当时，直线经过圆心m；
当时，直线与 ⊙m相切；
2）若把⊙m换成矩形，如图9—②，其三个顶点的坐标分别为：。设直线扫过矩形的面积为，当由小到大变化时，请求出与的函数关系式。
10．(2013广东汕头)如图，在矩形纸片abcd中，ab=6，bc=8．把△bcd沿对角线bd折叠，使点c落在c′处，bc′交ad于点g；e、f分别是c′d和bd上的点，线段ef交ad于点h，把△fde沿ef折叠，使点d落在d′处，点d′恰好与点a重合．
1）求证：△abg≌△c′dg；
2）求tan∠abg的值；
3）求ef的长．
11．（2013山西）问题情境：将一副直角三角板（rt△abc和rt△def）按图1所示的方式摆放，其中∠acb=90°，ca=cb，∠fde=90°，o是ab的中点，点d与点o重合，df⊥ac于点m，de⊥bc于点n，试判断线段om与on的数量关系，并说明理由．
**展示：小宇同学展示出如下正确的解法：
解：om=on，证明如下：
连接co，则co是ab边上中线，ca=cb，∴co是∠acb的角平分线．（依据1）
om⊥ac，on⊥bc，∴om=on．（依据2）
反思交流：1）上述证明过程中的“依据1”和“依据2”分别是指：
依据1： 依据2
2）你有与小宇不同的思考方法吗？请写出你的证明过程．
拓展延伸：3）将图1中的rt△def沿着射线ba的方向平移至如图2所示的位置，使点d落在ba的延长线上，fd的延长线与ca的延长线垂直相交于点m，bc的延长线与de垂直相交于点n，连接om、on，试判断线段om、on的数量关系与位置关系，并写出证明过程．
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