函数型综合问题

一、选择题。

1．(2010·绥化)已知函数y＝的图象如图所示，当x≥－1时，y的取值范围是( )

a．y＜－1 b．y≤－1

c．y≤－1或y＞0 d．y＜－1或y≥0

答案 c解析根据反比例函数的性质和图象，可知x≥－1时，在第三象限为y≤－1；在第一象限y>0，故选c.

2．(2010·贵阳)一次函数y＝kx＋b的图象如图所示，当y＜0时，x的取值范围是( )

a．x＜0 b．x＞0 c．x＜2 d．x＞2

答案 d解析根据图象和数据可知，当y<0时，直线在x轴下方的部分，x的取值范围是x>2.

3．(2010·黔东南州)在直角坐标系中，若解析式为y＝2x2－4x＋5 的图象沿着x轴向左平移两个单位，再沿着y轴向下平移一个单位，此时图象的解析式为( )

a．y＝2(x－3)2＋4 b．y＝2(x－3)2＋2

c．y＝2(x＋1)2＋4 d．y＝2(x＋1)2＋2

答案 d解析 y＝2x2－4x＋5配方得y＝2(x－1)2＋3，由题意得y＝2(x－1＋2)2＋3－1，即y＝2(x＋1)2＋2.

4．(2010·孝感)双曲线y＝与y＝在第一象限内的图象如图所示，作一条平行于y轴的直线分别交双曲线于a、b两点，连接oa、ob，则△aob的面积为( )

a．1 b．2 c．3 d．4

答案 a解析设直线ab交于x轴于c，则s△aoc＝×4＝2，s△boc＝×2＝1，∴s△aob＝2－1＝1.

5．(2011·聊城)某公园草坪的防护栏是由100段形状相同的抛物线组成的．为了牢固起见，每段护栏需要间距0.4m加设一根不锈钢的支柱，防护栏的最高点距底部0.5 m(如图)，则这条防护栏需要不锈钢支柱的总长度至少为( )

a．50 m b．100 m c．160 m d．200 m

答案 c解析如图，以抛物线的顶点为坐标原点，平行于地面的直线为x轴建立坐标系；设函数解析式为y＝ax2，当x＝1时，y＝－0.5，所以a＝－0.5，y＝－0.

5x2.当x＝0.2时，y＝－0.

5×0.22＝－0.02；当x＝0.

6时，y＝－0.5×0.62＝－0.

18，所以每段防护栏的支柱长度为2×＝1.6米，100段防护栏的支柱总长为100×1.6＝160米．

二、填空题。

6．(2010·自贡)如图，点q在直线y＝－x上运动，点a的坐标为(1,0)，当线段aq最短时，点q的坐标为。

答案解析当aq垂直于直线y＝－x时，线段aq最短．在rt△aoq中，ao＝1，∠aoq＝45°，画qh⊥oa于h，则qh＝oa＝，oh＝，所以q.

7．(2011·怀化)**某种手工艺品，若每个获利x元，一天可售出(8－x)个，则当x＝__元时，一天**该种手工艺品的总利润y最大．

答案 4解析由题意，得y＝x(8－x)＝－x2＋8x＝－(x－4)2＋16，当x＝4时，y有最大值．

8．(2010·武汉)如图，直线y1＝kx＋b过点a(0,2)，且与直线y2＝mx交于点p(1，m)，则不等式组mx>kx＋b>mx－2的解集是。

答案 1解析由直线y1＝kx＋b过点a(0,2)，p(1，m)，则有∴∴y1＝(m－2)x＋2，故所求的不等式组可化为mx>(m－2)x＋2>mx－2，解得19．(2010·莆田)某同学利用描点法画二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象时，列出的部分数据如下表：

经检查，发现**中恰好有一组数据计算错误，请你根据上述信息写出该二次函数的解析式。

答案 y＝x2－4x＋3

解析选取三点(0,3)，(1,0)，(3,0)，设抛物线的解析式为y＝a(x－1)(x－3)，则a(0－1)(0－3)＝3，a＝1，∴y＝(x－1)(x－3)＝x2－4x＋3.

10．(2010·昆明)如图，点a(x1，y1)、b(x2，y2)都在双曲线y＝(x>0)上，且x2－x1＝4，y1－y2＝2.分别过点a、b向x轴、y轴作垂线段，垂足分别为c、d、e、f，ac与bf相交于g点，四边形focg的面积为2，五边形aeodb的面积为14，那么双曲线的解析式为。

答案 y＝解析 ∵x2－x1＝4，y1－y2＝2，bg＝4，ag＝2.∴s△agb＝4.

s矩形aeoc＝s矩形ofbd，s矩形focg＝2，s矩形aeoc＝s矩形ofbd＝(s五边形aeodb－s△agb－s矩形focg)＋s矩形focg＝(14－4－2)＋2＝6，即ae·ac＝6，∴k＝6，∴y＝.

三、解答题。

11．(2011·滨州)如图，某广场设计的一建筑物造型的纵截面是抛物线的一部分，抛物线的顶点o落在水平面上，对称轴是水平线oc.点a、b在抛物线造型上，且点a到水平面的距离ac＝4米，点b到水平面距离为2米，oc＝8米．

1)请建立适当的直角坐标系，求抛物线的函数解析式；

2)为了安全美观，现需在水平线oc上找一点p，用质地、规格已确定的圆形钢管制作两根支柱pa、pb对抛物线造型进行支撑加固，那么怎样才能找到两根支柱用料最省(支柱与地面、造型对接方式的用料多少问题暂不考虑)时的点p？(无需证明)

3)为了施工方便，现需计算出点o、p之间的距离，那么两根支柱用料最省时，点o、p之间的距离是多少？(请写出求解过程)

解 (1)以点o为原点、射线oc为y轴的正半轴与射线ca平行方向为x轴正半轴建立直角坐标系，设抛物线的函数解析式为y＝ax2，由题意知点a的坐标为(4,8)，且点a在抛物线上，所以8＝a×42，解得a＝，故所求抛物线的函数解析式为y＝x2.

2)延长ac，交建筑物造型所在抛物线于点d,

则点a、d关于oc对称．

连接bd交oc于点p，则点p即为所求．

3)由题意知点b的横坐标为2，且点b在抛物线上，所以点b的坐标为(2,2)．

又知点a的坐标为(4,8)，所以点d的坐标为(－4,8)．

设直线bd的函数解析式为y＝kx＋b，则有。

解得k＝－1，b＝4.

故直线bd的函数解析式为y＝－x＋4，把x＝0代入y＝－x＋4，得点p的坐标为(0,4)．

即两根支柱用料最省时，点o、p之间的距离是4米．

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