方程型综合问题

考点跟踪训练45 方程型综合问题。

一、选择题。

1．已知有10包相同数量的饼干，若将其中1包饼干平分给23名学生，最少剩3片．若将此10包饼干平分给23名学生，则最少剩多少片？(

a. 0 b. 3 c. 7 d．10

答案 c解析设这包饼干有y片，则y>23x＋3(x是大于0的整数)，而10y＝230x＋30，因而＝10x＋＝10x＋1＋，考虑余数，故最少剩7片．

2．一元二次方程x2＋x＋2＝0的根的情况是( )

a．有两个不相等的正根 b．有两个不相等的负根。

c．没有实数根d．有两个相等的实数根。

答案 c解析由x2＋x＋2＝0，得x2＋x＋＝－所以2＝－，方程没有实数根．

3．(2010·攀枝花)下列关于x的一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是( )

a．x2＋1＝0b．9x2－6x＋1＝0 c．x2－x＋2＝0d．x2－2x－1＝0

答案 d解析 x2－2x－1＝0，x2－2x＋1＝2，(x－1)2＝2，x1＝1＋，x2＝1－.

4．(2010·莆田)在某次聚会上，每两人都握了一次手，所有人共握手10次，设有x人参加这次聚会，则列出方程正确的是( )

a．x(x－1)＝10b.＝10 c．x(x＋1)＝10d.＝10

答案 b解析设有x人参加聚会，则每个人需握手(x－1)次，所以＝10.

5．设a、b是方程x2＋x－2009＝0的两个实数根，则a2＋2a＋b的值为( )

a．2006 b．2007 c．2008 d．2009

答案 c解析根据题意，有a2＋a－2009＝0，a2＋a＝2009；又a＋b＝－1，所以a2＋2a＋b＝2008.

二、填空题。

6．一家商店将某件商品按成本价提高50%后，标价为450元，又以8折**，则售出这件商品可获利润___元．

答案 60解析 450×0.8－450÷(1＋50%)＝360－300＝60.

7．五一期间，百货大楼推出全场打八折的优惠活动，持贵宾卡可在八折基础上继续打折，小明妈妈持贵宾卡买了标价为10000元的商品，共节省2800元，则用贵宾卡又享受了___折优惠．

答案九。解析设贵宾卡又享受x折优惠，则有10000×0.8×＝10000－2800,800x＝7200，x＝9.

8．当k___时，关于x的一元二次方程x2＋6kx＋3k3＋6＝0有两个相等的实数根．

答案 ±1解析当(6k)2－4×1×(3k2＋6)＝0时，方程有两个相等的实数根，解这个方程，得k＝±1.

9．已知a、b是一元二次方程x2－2x－1＝0的两个实数根，则代数式＋ab的值等于___

答案－1解析由根与系数的关系得a＋b＝2，ab＝－1，所以(a－b)(a＋b－2)＋ab＝(a－b)×0＋(－1)＝－1.

10．某县2024年农民人均年收入为7800元，计划到2024年，农民人均年收入达到9100元．设人均年收入的平均增长率为x，则可列方程。

答案 7800(1＋x)2＝9100

三、解答题。

11．已知：如图，在平面直角坐标系xoy中，矩形oabc的边oa在y轴的正半轴上，oc在x轴的正半轴上，oa＝2，oc＝3.过原点o作∠aoc的平分线交ab于点d，连接dc，过点d作de⊥dc，交oa于点e.

1)求过点e、d、c的抛物线的解析式；

2)将∠edc绕点d按顺时针方向旋转后，角的一边与y轴的正半轴交于点f，另一边与线段oc交于点g.如果df与(1)中的抛物线交于另一点m，点m的横坐标为，那么ef＝2go是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；

解 (1)由已知，得c(3,0)，d(2,2)，∠ade＝90°－∠cdb＝∠bcd，又∠aod＝∠cod＝∠ado，ad＝ao＝bc＝2.

又∠dae＝∠b＝90°，△ade≌△bcd，ae＝bd＝1，∴oe＝1，e(0,1)．

设过点e、d、c的抛物线的解析式为。

y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．

将点e的坐标代入，得c＝1.

将c＝1和点d、c的坐标分别代入，得解得。

故抛物线的解析式为y＝－x2＋x＋1.

2)ef＝2go成立，证明如下：

点m在该抛物线上，且它的横坐标为，点m的纵坐标为。

设dm的解析式为y＝kx＋b1(k≠0)，将点d、m的坐标分别代入，得解得。

dm的解析式为y＝－x＋3.

f(0,3)，ef＝2.

如图①，过点d作dk⊥oc于点k，则da＝dk.

∠adk＝∠fdg＝90°，∴fda＝∠gdk.

又∵∠fad＝∠gkd＝90°，∴daf≌△dkg.

kg＝af＝1.∴go＝1.∴ef＝2go.

12．已知，如图抛物线y＝ax2＋3ax＋c(a>0)与y轴交于c点，与x轴交于a、b两点，a点在b点左侧．点b的坐标为(1,0)，oc＝3ob.

1)求抛物线的解析式；

2)若点d是线段ac下方抛物线上的动点，求四边形abcd的面积的最大值；

3)若点e在x轴上，点p在抛物线上，是否存在以a、c、e、p为顶点且以ac为一边的平行四边形？若存在，求点p的坐标；若不存在，请说明理由．

解 (1)∵对称轴x＝－＝又∵oc＝3ob＝3，a>0，∴c(0，－3)．

把b(1,0)、c(0，－3)代入y＝ax2＋3ax＋c得。

解得a＝，c＝－3.

y＝x2＋x－3

2)过点d作dm∥y轴分别交线段ac和x轴于点m、n.

s四边形abcd＝s△abc＋s△acd＝＋·dm·(an＋on)＝＋2dm.

a(－4,0)，c(0，－3)，设直线ac的解析式为y＝kx＋b，代入求得：y＝－x－3，令d，m，则dm＝－x－3－

－(x＋2)2＋3.

当x＝－2时，dm有最大值3，此时四边形abcd面积有最大值。

3)如图①所示，讨论：①过点c作cp1∥x轴交抛物线于点p1，过点p1作p1e1∥ac交x轴于点e1，此时四边形acp1e1为平行四边形，c(0，－3)，令x2＋x－3＝－3得。

x1＝0，x2＝－3，cp1＝3.∴p1(－3，－3)．

如图②，平移直线ac交x轴于点e，交x轴上方的抛物线于点p，当ac＝pe时，四边形acep为平行四边形，c(0，－3)，可令p(x,3)，由x2＋x－3＝3得：

x2＋3x－8＝0，解得x1＝或x2＝，此时存在点p2和p3.

综上所述，存在3个点符合题意，坐标分别是p1(－3，－3)，p2，p3.

13．(2011·北京)在平面直角坐标系xoy中，二次函数y＝mx2＋(m－3)x－3(m>0)的图象与x轴交于a、b两点(点a在点b的左侧)，与y轴交于点c.

1)求点a的坐标；

2)当∠abc＝45°时，求m的值；

3)已知一次函数y＝kx＋b，点p(n,0)是x轴上的一个动点，在(2)的条件下，过点p垂直于x轴的直线交这个一次函数的图象于点m，交二次函数的图象于n.若只有当－2解 (1)∵ 点a、b是二次函数y＝mx2＋(m－3)x－3 (m>0)的图象与x轴的交点，令y＝0，即mx2＋(m－3)x－3＝0，解得x1＝－1, x2＝.又∵ 点a在点b左侧且m>0，点a的坐标为(－1,0)．

2)由(1)可知点b的坐标为(，0)．

二次函数的图象与y轴交于点c，点c的坐标为(0，－3)．

∠abc＝45°，∴3，∴m＝1.

3)由(2)得，二次函数解析式为y＝x2－2x－3.依题意并结合图象可知，一次函数的图象与二次函数的图象交点的横坐标分别为－2和2，由此可得交点坐标为(－2,5)和(2，－3)．

将交点坐标分别代入一次函数解析式y＝kx＋b中，得解得。

一次函数的解析式为y＝－2x＋1.

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