数列的综合问题。
1．几种数列求和的常用方法。
1)分组求和法：一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成的，则求和时可用分组求和法，分别求和而后相加减．
2)裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得前n项和．常用的裂项公式有：
3)错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么求这个数列的前n项和即可用错位相减法求解．
4)倒序相加法：如果一个数列与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法求解．
2．解决数列与不等式问题常见放缩技巧。
1)对的放缩，根据不同的要求，大致有三种情况：
＝－ n≥2)；
＝ (n≥2)；
＝2 (n≥1)．
2)对的放缩，根据不同的要求，大致有两种情况：
＝－ n≥1)．
小题体验]1．若sn＝1－2＋3－4＋5－6＋…＋1)n－1·n，则s50
2．若数列的通项公式为an＝2n－1，则的前10项和为___
1．设f(n)＝2＋24＋27＋210＋…＋23n＋10(n∈n*)，则f(3
2．已知数列的前n项和为sn且an＝n·2n，则sn
2018·温州模拟)已知数列是递增的等差数列，a1＝2，a＝a4＋8.
1)求数列的通项公式；
2)若bn＝an＋2an，求数列的前n项和sn.
2018·嘉兴模拟)已知数列的前n项和sn，满足sn＝n(n－6)，数列满足b2＝3，bn＋1＝3bn(n∈n*)．
1)求数列，的通项公式；
2)记数列满足cn＝求数列的前n项和tn.
2016·山东高考)已知数列的前n项和sn＝3n2＋8n，是等差数列，且an＝bn＋bn＋1.
1)求数列的通项公式；
2)令cn＝，求数列的前n项和tn.
2017·天津高考)已知为等差数列，前n项和为sn(n∈n*)，是首项为2的等比数列，且公比大于0，b2＋b3＝12，b3＝a4－2a1，s11＝11b4.
1)求和的通项公式；
2)求数列的前n项和(n∈n*)．
常见的命题角度有：
1)形如an＝型；
2)形如an＝型；
3)形如an＝型．
角度一：形如an＝型。
1．(2018·嘉兴模拟)已知数列为正项数列，其前n项和为sn，且sn满足4sn＝(an＋1)2，1)求证：数列为等差数列；
2)设bn＝，求数列的前n项和为tn.
角度二：形如an＝型。
2．(2018·江南十校联考)已知函数f(x)＝xα的图象过点(4,2)，令an＝，n∈n*.记数列的前n项和为sn，则s2 017＝(
a. －1b．－1
c. －1 d. ＋1
角度三：形如an＝型。
3．正项数列的前n项和sn满足：s－(n2＋n－1)sn－(n2＋n)＝0.
1)求数列的通项公式an；
2)令bn＝，数列的前n项和为tn.证明：对于任意的n∈n*，都有tn<.
2018·江山模拟)已知数列的前n项和为sn＝，若a1＝，a2＝.
1)求数列的前n项和sn；
2)求数列的通项公式an；
3)设bn＝，求数列的前n项和tn.
2018·杭州名校联考)已知数列满足a1＝1，＝1＋ (n∈n*)，证明：
1)an＋1≥an＋；
2018·浙江三地联考)已知数列满足an＝ (n，t∈n*，t≥3，n≤t)，证明：
1)an(2) ＋t＋1)ln(n＋1)；
3)(a1)t＋(a2)t＋(a3)t＋…＋an)t<1.
1.已知等比数列的公比q>1，且a3+a4+a5=28，a4+2是a3，a5的等差中项．数列。
bn}满足b1=1，数列的前n项和为2n2+n．
ⅰ）求q的值；
ⅱ）求数列的通项公式．
2.设是首项为，公差为d的等差数列，是首项为，公比为q的等比数列．
1）设，若对均成立，求d的取值范围；
2）若，证明：存在，使得对均成立，并求的取值范围（用表示）
设数列的前n项和为sn，且sn＝2－an，n∈n*，设函数f(x)＝logx.数列满足bn＝f(an)，记的前n项和为tn.
1)求an及tn；
2)记cn＝an·bn，求cn的最大值．
(2017·北京高考)已知等差数列和等比数列满足a1＝b1＝1，a2＋a4＝10，b2b4＝a5.
1)求的通项公式；
2)求和：b1＋b3＋b5＋…＋b2n－1.
2016·全国卷ⅰ)已知各项都为正数的数列满足a1＝1，a－(2an＋1－1)an－2an＋1＝0.
1)求a2，a3；
2)求的通项公式。
2017·天津高考)已知为等差数列，前n项和为sn(n∈n*)，是首项为2的等比数列，且公比大于0，b2＋b3＝12，b3＝a4－2a1，s11＝11b4.
1)求和的通项公式；
2)求数列的前n项和(n∈n*)．
2016·天津高考)已知是等比数列，前n项和为sn(n∈n*)，且－＝，s6＝63.
1)求的通项公式；
2)若对任意的n∈n*，bn是log2an和log2an＋1的等差中项，求数列的前2n项和．
2016·江苏高考)记u＝，对数列(n∈n*)和u的子集t，若t＝，定义st＝0；若t＝，定义st＝at1＋at2＋…＋atk.例如：t＝时，st＝a1＋a3＋a66.
现设(n∈n*)是公比为3的等比数列，且当t＝时，st＝30.
1)求数列的通项公式；
2)对任意正整数k(1≤k≤100)，若t，求证：st＜ak＋1；
3)设cu，du，sc≥sd，求证：sc＋sc∩d≥2sd.
2017·北京高考)设和是两个等差数列，记cn＝max(n＝1,2，3，…)其中max表示x1，x2，…，xs这s个数中最大的数．
1)若an＝n，bn＝2n－1，求c1，c2，c3的值，并证明是等差数列；
2)证明：或者对任意正数m，存在正整数m，当n≥m时， >m；或者存在正整数m，使得cm，cm＋1，cm＋2，…是等差数列．
江苏解：（1）由条件知：．
因为对n=1，2，3，4均成立，即对n=1，2，3，4均成立，即11，1d3，32d5，73d9，得．
因此，d的取值范围为．
2）由条件知：．
若存在d，使得（n=2，3，··m+1）成立，即，即当时，d满足．
因为，则，从而，，对均成立．
因此，取d=0时，对均成立．
下面讨论数列的最大值和数列的最小值（）．
当时，当时，有，从而．
因此，当时，数列单调递增，故数列的最大值为．
设，当x>0时，所以单调递减，从而当时，，因此，当时，数列单调递减，故数列的最小值为．因此，d的取值范围为．
浙江（ⅰ）由是的等差中项得，所以，解得。
由得，因为，所以。[**：学科网]
ⅱ）设，数列前n项和为。
由解得。由（ⅰ）可知，所以，故，[**：学科网]
设， 所以，因此，又，所以。
2018·嘉兴模拟)已知数列的前n项和sn，满足sn＝n(n－6)，数列满足b2＝3，bn＋1＝3bn(n∈n*)．
1)求数列，的通项公式；
2)记数列满足cn＝求数列的前n项和tn.
解：(1)当 n＝1时，a1＝s1＝－5，当n≥2时，an＝sn－sn－1＝n2－6n－(n－1)2＋6(n－1)＝2n－7，n＝1适合上式，∴an＝2n－7(n∈n*)．
bn＋1＝3bn(n∈n*)且b2≠0，∴＝3，(n∈n*)．
为等比数列，∴bn＝3n－1(n∈n*)．
2)由(1)得，cn＝
当n为偶数时，tn＝c1＋c2＋…＋cn＝＋＝
当n为奇数时：tn＝c1＋c2＋…＋cn＝＋＝
综上所述：tn＝
典例引领]2016·山东高考)已知数列的前n项和sn＝3n2＋8n，是等差数列，且an＝bn＋bn＋1.
1)求数列的通项公式；
2)令cn＝，求数列的前n项和tn.
解：(1)由题意知，当n≥2时，an＝sn－sn－1＝6n＋5，当n＝1时，a1＝s1＝11，满足上式，所以an＝6n＋5.
设数列的公差为d.
由即。可解得所以bn＝3n＋1.
2)由(1)知cn＝＝3(n＋1)·2n＋1，又tn＝c1＋c2＋…＋cn，得tn＝3×[2×22＋3×23＋…＋n＋1)×2n＋1]，2tn＝3×[2×23＋3×24＋…＋n＋1)×2n＋2]，两式作差，得－tn＝3×[2×22＋23＋24＋…＋2n＋1－(n＋1)×2n＋2]
－3n·2n＋2，所以tn＝3n·2n＋2.
由题悟法]用错位相减法求和的3个注意事项。
1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；
2)在写出“sn”与“qsn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“sn－qsn”的表达式；
3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解．
即时应用]2017·天津高考)已知为等差数列，前n项和为sn(n∈n*)，是首项为2的等比数列，且公比大于0，b2＋b3＝12，b3＝a4－2a1，s11＝11b4.
数列综合问题
第9讲数列综合问题。姓名。知识点归纳 1 数列求和的常用方法 1 公式法 等差数列求和公式 等比数列求和公式，特别声明 运用等比数列求和公式，务必检查其公比与1的关系，必要时需分类讨论 常用公式 2 分组求和法 在直接运用公式法求和有困难时，常将 和式 中 同类项 先合并在一起，再运用公式法求和。3...
数列综合学案3 数列的综合问题
第0 课时 主干知识 数列 3 数列的综合问题。2013年月日星期。班级姓名学习效果。一 旧知检测 1 在等差数列中，首项公差，若，则的值为a 37 b 36 c 20 d 19 二 呈现考点 学会综合解决数列的有关问题。三 回顾练习 2 2009年广东卷第21题，本小题满分14分 已知点 1，是函...
数列综合问题剖析
1，江苏海门市2013届高三上学期期中考试模拟数学试卷 如图所示的螺旋线是用以下方法画成的，是边长为1的正三角形，曲线分别是为圆心，为半径画的弧，曲线称为螺旋线的第一圈 然后又以a为圆心，半径画弧，如此继续下去，这样画到第圈。设所得螺旋线的总长度为，则。题外 请你用极坐标的形式写出定角速度绕出的螺旋...