例1、设数列满足，1)求数列的通项公式；
2)证明：对于一切正整数n,
例2、已知数列的前项和为，且满足：， n*，.
ⅰ）求数列的通项公式；
ⅱ）若存在 n*，使得，，成等差数列，试判断：对于任意的n*，且，，，是否成等差数列，并证明你的结论。
例3、已知两个等比数列，，满足，，，
1）若，求数列的通项公式；
2）若数列唯一，求的值。
例4、等比数列的各项均为正数，且。
ⅰ)求数列的通项公式；
ⅱ）设求数列的前n项和。
例5、已知数列和的通项公式分别为，（.将集合中的元素从小到大依次排列，构成数列。
1）写出；2）求证：在数列中，但不在数列中的项恰为；
3）求数列的通项公式。
例6、已知数列满足：且（）
ⅰ）求证：数列为等比数列，并求数列的通项公式；
ⅱ）证明：（）
例7、已知公差不为0的等差数列的首项为，且，，成等比数列．
ⅰ）求数列的通项公式；
ⅱ）对，试比较与的大小．
例10、(2011·黑龙江)已知a1＝2，点(an，an＋1)在函数f(x)＝x2＋2x的图象上，其中n＝1,2,3，….
1)证明数列是等比数列；
2)设tn＝(1＋a1)(1＋a2)…(1＋an)，求tn及数列的通项．
例·湖南长沙一中月考)已知f(x)＝mx(m为常数，m>0且m≠1)．设f(a1)，f(a2)，…f(an)…(n∈n)是首项为m2，公比为m的等比数列．
1)求证：数列是等差数列；
2)若bn＝anf(an)，且数列的前n项和为sn，当m＝2时，求sn；
3)若cn＝f(an)lgf(an)，问是否存在正实数m，使得数列中每一项恒小于它后面的项？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．
例10、数列的前n项和为sn，且sn＝n(n＋1)(n∈n*)．
1)求数列的通项公式；
2)若数列满足：an＝＋＋求数列的通项公式；
(3)令cn＝(n∈n*)，求数列的前n项和tn.
例1例2解：（ⅰ由已知：得，两式相减得，又。
所以当时数列为：，0，0，0，…，当时，由已知，所以，，于是。
所以数列成等比数列，即当时。
综上数列的通项公式为。
ⅱ）对于任意的，且，，，成等差数列，证明如下：
当时由（ⅰ）知，此时，，成等差数列；
当时，若存在 n*，使得，，成等差数列，则2=+，由（ⅰ）知数列的公比，于是对于任意的n*，且，；所以2=+即，，成等差数列；综上：对于任意的，且，，，成等差数列。
例3（1）设的公比为，则，由，，成等比数列得，即，解得，
所以的通项公式或。
2） 设的公比为，则由，得。
由得，故方程（*）有两个不同的实根。
由唯一，知方程（*）必有一根为0，代入（*）得。
例4（ⅰ）设数列的公比为q，由得所以。
由条件可知a>0,故。
由得，所以。
故数列的通项式为an=。
故。所以数列的前n项和为。
例5⑴ ； ① 任意，设，则，即。
假设（矛盾），∴
在数列中、但不在数列中的项恰为。，，
当时，依次有，……
例6解：（ⅰ由题得：an+1（an+n）=2（n+1）an ， 即。
故即数列为等比数列， …3分。
7分。ⅱ）由上知8分。
例7（ⅰ）解：设等差数列的公差为，由题意可知。
即，从而。因为故通项公式。
（ⅱ）解：记。
所以。从而，当时，；当。
例8(1)由已知an＋1＝a＋2an，∴an＋1＋1＝(an＋1)2.∵a1＝2，∴an＋1>1，两边取对数得：lg(1＋an＋1)＝2lg(1＋an)，即＝2.
∴是公比为2的等比数列．
2)由(1)知lg(1＋an)＝2n－1·lg(1＋a1)＝2n－1·lg3＝lg32n－1∴1＋an＝32n－1(*)
tn＝(1＋a1)(1＋a2)…(1＋an)＝320·321·…·32n－1＝31＋2＋22＋…＋2n－1＝32n－1.
由(*)式得an＝32n－1－1.
例9(1)由题意f(an)＝m2·mn－1，即man＝mn＋1.
an＝n＋1，∴an＋1－an＝1，∴数列是以2为首项，1为公差的等差数列．
2)由题意bn＝anf(an)＝(n＋1)·mn＋1，当m＝2时，bn＝(n＋1)·2n＋1，∴sn＝2·22＋3·23＋4·24＋…＋n＋1)·2n＋1①
式两端同乘以2得，2sn＝2·23＋3·24＋4·25＋…＋n·2n＋1＋(n＋1)·2n＋2②
－①并整理得，sn＝－2·22－23－24－25－…－2n＋1＋(n＋1)·2n＋2
－22－(22＋23＋24＋…＋2n＋1)＋(n＋1)·2n＋2
－4－＋(n＋1)·2n＋2＝－4＋22(1－2n)＋(n＋1)·2n＋2＝2n＋2·n.
3)由题意cn＝f(an)·lgf(an)＝mn＋1·lgmn＋1＝(n＋1)·mn＋1·lgm，要使cn①当m>1时，lgm>0，所以n＋1综上，当01时，数列中每一项恒小于它后面的项．
例10(1)当n＝1时，a1＝s1＝2，当n≥2时，an＝sn－sn－1＝n(n＋1)－(n－1)n＝2n，知a1＝2满足该式。
数列的通项公式为an＝2n.
2)an＝＋＋n≥1)①∴an＋1＝＋＋
－①得，＝an＋1－an＝2，bn＋1＝2(3n＋1＋1)，故bn＝2(3n＋1)(n∈n)．
3)cn＝＝n(3n＋1)＝n·3n＋n，tn＝c1＋c2＋c3＋…＋cn＝(1×3＋2×32＋3×33＋…＋n×3n)＋(1＋2＋…＋n)
令hn＝1×3＋2×32＋3×33＋…＋n×3n，①则3hn＝1×32＋2×33＋3×34＋…＋n×3n＋1②
－②得，－2hn＝3＋32＋33＋…＋3n－n×3n＋1＝－n×3n＋1
hn＝，∴数列的前n项和tn＝＋.
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