数列 5综合问题

数列(5)——综合应用。

[知识能否忆起]

1．数列在实际生活中有着广泛的应用，其解题的基本步骤，可用图表示如下：

2．数列应用题常见模型。

1)等差模型：如果增加(或减少)的量是一个固定量时，该模型是等差模型，增加(或减少)的量就是公差．

2)等比模型：如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数时，该模型是等比模型，这个固定的数就是公比．

3)递推数列模型：如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定，随项的变化而变化时，应考虑是an与an＋1的递推关系，还是前n项和sn与sn＋1之间的递推关系．

小题能否全取]

1．某学校高。

一、高二、高三共计2 460名学生，三个年级的学生人数刚好成等差数列，则该校高二年级的人数是( )

a．800b．820

c．840d．860

2．(教材习题改编)有一种细菌和一种病毒，每个细菌在每秒钟杀死一个病毒的同时将自身**为2个，现在有一个这样的细菌和100个这样的病毒(假设病毒不繁殖)，问细菌将病毒全部杀死至少需要( )

a．6秒钟b．7秒钟。

c．8秒钟d．9秒钟。

3．数列是各项均为正数的等比数列，是等差数列，且a6＝b7，则有( )

a．a3＋a9≤b4＋b10b．a3＋a9≥b4＋b10

c．a3＋a9≠b4＋b10d．a3＋a9与b4＋b10的大小不确定。

4．一个凸多边形的内角成等差数列，其中最小的内角为，公差为，则这个多边形的边数为___

5．设曲线y＝xn＋1(n∈n*)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，xn令an＝lg xn，则a1＋a2＋…＋a99的值为___

1.对等差、等比数列的概念、性质要有深刻的理解，有些数列题目条件已指明是等差(或等比)数列，有的数列并没有指明，但可以通过分析构造，转化为等差数列或等比数列，然后应用等差、等比数列的相关知识解决问题．

2．数列是一种特殊的函数，故数列有着许多函数的性质．等差数列和等比数列是两种最基本、最常见的数列，它们是研究数列性质的基础，与函数、方程、不等式、三角等内容有着广泛的联系，在实际生活中也有着广泛的应用，随着高考对能力要求的进一步提高，这一部分内容也将受到越来越多的关注．

典题导入。例1] 在等比数列(n∈n*)中，a1>1，公比q>0，设bn＝log2an，且b1＋b3＋b5＝6，b1b3b5＝0.

1)求证：数列是等差数列；

2)求的前n项和sn及的通项an.

试比较(2)求出的sn与an的大小．

由题悟法。解决等差数列与等比数列的综合问题，关键是理清两个数列的关系．如果同一数列中部分项成等差数列，部分项成等比数列，要把成等差数列或等比数列的项抽出来单独研究；如果两个数列通过运算综合在一起，要从分析运算入手，把两个数列分割开，弄清两个数列各自的特征，再进行求解．

以题试法。1．(2012·河南调研)已知是一个公差大于0的等差数列，且满足a3a6＝55，a2＋a7＝16.

1)求数列的通项公式；

2)若数列和数列满足等式an＝＋＋n为正整数)，求数列的前n项和sn.

典题导入。例2] 某企业在第1年初购买一台价值为120万元的设备m，m的价值在使用过程中逐年减少．从第2年到第6年，每年初m的价值比上年初减少10万元；从第7年开始，每年初m的价值为上年初的75%.则第n年初m的价值an

由题悟法。1．数列实际应用题的解题策略。

解等差、等比数列应用题时，首先要认真审题，深刻理解问题的实际背景，理清蕴含在语言中的数学关系，把应用问题抽象为数学中的等差、等比数列问题，然后求解．

2．处理分期付款问题的注意事项。

1)准确计算出在贷款全部付清时，各期所付款额及利息(注：最后一次付款没有利息)．

2)，只有掌握了这一点，才可以顺利建立等量关系．

以题试法。2．从经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业．根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少，本年度当地旅游业估计收入400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加。

1)设n年内(本年度为第一年)总投入为an万元，旅游业总收入为bn万元，写出表达式；

2)至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入？

典题导入。例3] 设函数f(x)＝＋sin x的所有正的极小值点从小到大排成的数列为．

1)求数列的通项公式；

2)设的前n项和为sn，求sin sn.

由题悟法。数列与函数的综合问题主要有以下两类：

1)已知函数条件，解决数列问题，此类问题一般利用函数的性质、图象研究数列问题；

2)已知数列条件，解决函数问题，解决此类问题一般要充分利用数列的范围、公式、求和方法对式子化简变形．另外，解题时要注意数列与函数的内在联系，灵活运用函数的思想方法求解，在问题的求解过程中往往会遇到递推数列，因此掌握递推数列的常见解法有助于该类问题的解决．

以题试法。3． (2012·温州测试)设等差数列的前n项和为sn，若a1＝2＋t，s5－s2＝24＋3t(t>0)．

1)求数列的通项公式；

2)设bn＝aqn＋n，若b1＝a1，b5＝a5，试比较a3与b3的大小．

1．数列是公差不为0的等差数列，且a1，a3，a7为等比数列中连续的三项，则数列的公比为( )

ab．4c．2d.

2．已知等差数列的前n项和为sn，s9＝－36，s13＝－104，等比数列中，b5＝a5，b7＝a7，则b6的值为( )

a．±4b．－4

c．4d．无法确定。

3．已知数列，满足a1＝1且an，an＋1是函数f(x)＝x2－bnx＋2n的两个零点，则b10等于( )

a．24b．32

c．48d．64

4.在如图所示的**中，如果每格填上一个数后，每一行成等差数列，每一列成等比数列，那么x＋y＋z的值为( )

a．1b．2

c．3d．4

5．设是各项为正数的无穷数列，ai是边长为ai，ai＋1的矩形的面积(i＝1,2，…)则为等比数列的充要条件为( )

a．是等比数列。

b．a1，a3，…，a2n－1，…或a2，a4，…，a2n，…是等比数列。

c．a1，a3，…，a2n－1，…和a2，a4，…，a2n，…均是等比数列。

d．a1，a3，…，a2n－1，…和a2，a4，…，a2n，…均是等比数列，且公比相同。

6．已知数列满足3an＋1＋an＝4且a1＝9，其前n项之和为sn，则满足不等式|sn－n－6|《的最小整数n是( )

a．5b．6

c．7d．8

7．等比数列的前n项和为sn，已知s1,2s2,3s3成等差数列，则等比数列的公比为__

8．植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米．开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边．使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，这个最小值为___米．

9．在数列中，若a－a＝p(n≥2，n∈n*，p为常数)，则称为“等方差数列”．

下列是对“等方差数列”的判断：

若是等方差数列，则是等差数列；

已知数列是等方差数列，则数列是等方差数列．

是等方差数列；

若是等方差数列，则(k∈n*，k为常数)也是等方差数列；

其中正确命题的序号为___

10．已知数列的前n项和为sn，且sn＝n2，数列为等比数列，且首项b1＝1，b4＝8.

1)求数列，的通项公式；

2)若数列满足cn＝abn，求数列的前n项和tn；

11．已知各项均为正数的数列满足：a＝2a＋anan＋1，且a2＋a4＝2a3＋4，其中n∈n*.

1)求数列的通项公式；

2)设数列满足：bn＝，是否存在正整数m，n(112．设同时满足条件：①≥bn＋1；②bn≤m(n∈n*，m是常数)的无穷数列叫“嘉文”数列．已知数列的前n项和sn满足sn＝(an－1)(a为常数，且a≠0，a≠1)．

1)求数列的通项公式；

2)设bn＝＋1，若数列为等比数列，求a的值，并证明数列为“嘉文”数列．

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