数列求和问题的基本类型**。
数列求和问题是数列的基本内容之一，也是高考的热点和重点。由于数列求和问题题型多样，技巧性也较强，以致成为数列的一个难点。鉴于此，下面就数列求和问题的常见题型及解法技巧作一归纳，以提高同学们数列求和的能力。
一、利用常用求和公式求和利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法。
1、 等差数列求和公式：
2、等比数列求和公式：
例1． 已知，求的前n项和。
解：由， 由等比数列求和公式得 =＝1－
二、倒序相加法求和。
这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个。
例2．求的值。
解：设………
将①式右边反序得。② 反序）
又因为①+②得（反序相加）＝89
s＝44.5
例3.设数列是公差为，且首项为的等差数列，求和：
解析：因为
点评：此类问题还可变换为探索题形：已知数列的前项和，是否存在等差数列使得对一切自然数n都成立。
三、累加法。
例5、求和sn=
分析： 由得。
令k、…n得2－1=3·1＋3·1＋13－2＝3·2＋3·2＋1 4－3＝3·3＋3·3＋1…….n+1）－n=3n+3n+1把以上各式两边分别相加得：（n+1）－1=3(1+2+…+n)+3(1+2+3+…+n)+n
=3sn+n(n+1)+n因此，sn＝n(n+1)(2n+1)
想一想利用此法能否推导自然数的立方和公式：
点拨利用(k+1) =k+4k+6k+4k+1进行累加。
四、乘公比错位相减法。
五、分组法求和。
有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可。
例6．求数列的前n项和：，…
解：设将其每一项拆开再重新组合得（分组）
当a＝1时，＝ 分组求和）
当时，＝例7． 求数列的前n项和。
解：分析知结果 ＝
六、裂项法求和。
这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用。 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的。 通项分解（裂项）如：
例8 求数列的前n项和。
解：设（裂项） 结果＝
例9 在数列中，，又，求数列的前n项的和。
解数列的前n项和＝
例10．证：
解：设s=左边∵（裂项）
s=七、合并法求和。
针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求sn.
例12． 求cos1°+ cos2°+ cos3°+·cos178°+ cos179°的值。
解：设sn＝ cos1°+ cos2°+ cos3°+·cos178°+ cos179°
（找特殊性质项）
sn＝ （cos1°+ cos179°）+cos2°+ cos178°）+cos3°+ cos177°）+
（cos89°+ cos91°）+cos90＝0
例13在各项均为正数的等比数列中，若的值。解：设。
八、数列的“通项分析法”求和。
先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项及其特征，然后再利用数列的通项揭示的规律来求数列的前n项和，是一个重要的方法。
例14． 求之和。
解：由于∴
例15．已知数列为等差数列，公差d≠0，其中，，…恰为等比数列，若k1=1，k2=5，k3=17，求k1+k2+…+kn。
解题思路分析：从寻找新、旧数列的关系着手，设首项为a1，公差为d
a1，a5，a17成等比数列 ∴ a52=a1a17 ∴（a1+4d）2=a1(a1+16d) ∴a1=2d
设等比数列公比为q，则对项来说，在等差数列中： 在等比数列中：∴
注：本题把k1+k2+…+kn看成是数列的求和问题，着重分析的通项公式。这是解决数列问题的一般方法，称为“通项分析法”。
九．分部求和。
例16．已知数列的通项，求其前项和．
解：奇数项组成以为首项，公差为12的等差数列，偶数项组成以为首项，公比为4的等比数列；
当为奇数时，奇数项有项，偶数项有项，当为偶数时，奇数项和偶数项分别有项， ，所以，．
例17．已知等差数列的首项为1，前10项的和为145，求。
解析：首先由则。
例18、数列的相邻的项是方程的两根，且，求无穷数列的各项的和。
解：因为是方程的两根，由韦达定理得①，②由①得，由②得③，又④，④得：⑤，在②中令，有。由此可知数列的偶数项组成以为首项，以为公比的等比数列。
由②又可得⑥，又⑦，⑦得：⑧，在②中令可得，由⑧知数列的奇数项（）组成以为首项，以为公比的等比数列。
注：有些数列必须对奇数项和偶数项分别考虑，问题才能解决。
十、组合化归法求和。
例19.求和：。
解析： 而连续自然数可表示为组合数的形式，于是，数列的求和便转化为组合数的。
求和问题了。
点评：可转化为连续自然数乘积的数列求和问题，均可考虑组合化归法、递推法求和。
例20. 已知数列的前项和与满足： 成。
等比数列，且，求数列的前项和。
解析：由题意： 十。
一、探索周期规律求和。
例21． 数列：，求s2002.
解：设s2002＝由可得。
s2002合并求和）
数列综合问题
第9讲数列综合问题。姓名。知识点归纳 1 数列求和的常用方法 1 公式法 等差数列求和公式 等比数列求和公式，特别声明 运用等比数列求和公式，务必检查其公比与1的关系，必要时需分类讨论 常用公式 2 分组求和法 在直接运用公式法求和有困难时，常将 和式 中 同类项 先合并在一起，再运用公式法求和。3...
数列综合问题
数列的综合问题。1 几种数列求和的常用方法。1 分组求和法 一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成的，则求和时可用分组求和法，分别求和而后相加减 2 裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得前n项和 常用的裂项公式有 3 错位相减法 如果一个...
数列综合学案3 数列的综合问题
第0 课时 主干知识 数列 3 数列的综合问题。2013年月日星期。班级姓名学习效果。一 旧知检测 1 在等差数列中，首项公差，若，则的值为a 37 b 36 c 20 d 19 二 呈现考点 学会综合解决数列的有关问题。三 回顾练习 2 2009年广东卷第21题，本小题满分14分 已知点 1，是函...