题型**。
在知识网络的交汇点处设计试题是近年来高考命题的特点．数列作为高中数学的重要内容，不仅本身成为高考考查的重点，而且常常与不等式、函数、解析几何等知识综合在一起，成为高考命题的热点．
范例选讲。例1 已知函数，点，是函数图像上的两个点，且线段的中点的横坐标为．
ⅰ）求证：点的纵坐标是定值；
ⅱ）若数列的通项公式为，求数列的前m项的和；
ⅲ）若时，不等式恒成立，求实数的取值范围．
讲解：这是一道函数、数列、不等式的综合问题．对于（ⅰ）直接验证即可；对于（ⅱ）观察的构成：
可知（ⅰ）的结论又为（ⅱ）作了铺垫；对于（ⅲ）则应在（ⅱ）的基础上，充分利用“恒成立”，结合函数、不等式的知识去解决．总之，本题层层递进，每一小题均为后一小题的基础，因此，从（ⅰ）开始，认真走好每一步是解决好本题的关键．
（ⅰ）由题可知：，所以，点的纵坐标是定值，问题得证．
（ⅱ）由（ⅰ）可知：对任意自然数，恒成立．
由于，故可考虑利用倒写求和的方法．即由于：
所以，所以，∴等价于。
依题意，①式应对任意恒成立．
当时，①式显然不成立，因此不合题意．
当时， ，所以，只需对任意恒成立，而当为偶数时，不成立，因此，不合题意．
当时，因为（），所以，需且只需对任意恒成立．即：对恒成立．
记（）． ， 的最大值为， ．
点评：对于“恒成立”的问题，往往采用分离变量的方法，转化为求某一函数的最值．
例2 已知函数与函数的图像关于直线对称．
ⅰ）试用含的代数式表示函数的解析式，并指出它的定义域；
ⅱ）数列中，，当时，．数列中，，．点在函数的图像上，求的值；
ⅲ）在（ⅱ）的条件下，过点作倾斜角为的直线，则在ｙ轴上的截距为，求数列的通项公式．
讲解：本题条件繁多，内容涉及解析几何、函数、数列多个方面，因此，我们首先需要仔细阅读题目，并根据题设理清思路，从繁杂的条件中选取有用的信息，把握问题的实质：实际上，本题的实质仍然是数列问题，解析几何和函数只是起到一种伪装的作用．
ⅰ）由题可知：与函数互为反函数，所以，ⅱ）因为点在函数的图像上，所以，(*
在上式中令可得：，又因为：，，代入可解得：．
所以，，(式可化为：
ⅲ）直线的方程为：，在其中令，得，又因为在ｙ轴上的截距为，所以，结合①式可得。
由①可知：当自然数时，，，两式作差得：
结合②式得：
在③中，令，结合，可解得：，又因为：当时，，所以，舍去，得．
同上，在③中，依次令，可解得：，．
猜想： ．下用数学归纳法证明．
1）时，由已知条件及上述求解过程知显然成立．
2）假设时命题成立，即，则由③式可得：
把代入上式并解方程得：
由于，所以，，所以，不符合题意，应舍去，故只有。
所以，时命题也成立．
综上可知：数列的通项公式为
点评：演绎和归纳是解决数列问题的常用方法；解决综合题的策略往往是把综合问题分解成几部分，然后各个击破．
高考真题。2023年全国高考）设是由正数组成的等比数列，是其前n项和，ⅰ）证明：()
ⅱ）是否存在常数c＞0,使得[lg(－c)＋lg(－c)]＜lg(－c)成立？并证明你的结论。
2023年全国高考）已知函数的图象是自原点出发的一条折线，当n≤y≤n＋1(n＝0,1,2,…)时，该图象是斜率为的线段(其中正常数≠1),设数列由＝(＝1,2,…)定义。
ⅰ）求和的表达式；
ⅱ）求的表达式，并写出其定义域；
ⅲ）证明的图象与的图象没有横坐标大于1的交点．
答案与提示：1．不存在满足题意的常数． 2．（ⅰ当时，的定义域为，当时，的定义域为；（ⅲ略．]
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