第36讲数列中综合问题。
基础训练。1. 已知成等比数列，是的等差中项，是的等差中项，则。
2.在数列中， ,且， 则___2600
3.黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案，则第个图案中有白色地面砖块。
4．定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和。 已知数列是等和数列，且，公和为，那么的值为___这个数列的前项和的计算公式为___
5.从一楼到二楼的楼梯共有级台阶，每步只能跨上1级或2级，走完这级台阶共有。
种走法，则下面的猜想正确的是 (
（a） （b）
（c） （d）
例题讲解。例1 已知数列满足，. 我们知道， 当实数取不同的值时，
得到不同的数列， 如果时， 得到无穷数列：；当时， 得到有穷数列。
1) 当为何值时，？
2) 设数列满足， 且， 求证：取数列中的任一个数， 都可以得到一个有穷数列；
3) 若， 当时恒成立， 求的取值范围。
解 (1).(23).
例2 设是数列（）的前项和，，且，1) 证明：数列（）是常数数列；
2) 试找出一个奇数，使以为首项，为公比的等比数列中的所有项都是数列中的项，并指出是数列中的第几项．
解 (1)．(2)，，为偶数，只可能是数列中的项．若是数列中的第项，由得，取，得，此时，由，得， ，从而是数列中的第项．
例3 将数列中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表：
记表中的第一列数构成的数列为，，为数列的前项和，且满足．
1) 证明数列成等差数列，并求数列的通项公式；
2) 上表中，若从第三行起，每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，且公比。
为同一个正数．当时，求上表中第行所有项的和．
解 (1)．
(2) 设每行的公比都为，且，在表中第13行第三列，，，第行所有项的和为．
例4 已知数列的前项的“均倒数”为，(1) 求的通项公式；
2) 已知，数列的前项和为，求的值；
(3) 设函数，是否存在最大的实数，当时，对于一。
切正整数，都有。
注：某几个数的均倒数是指它们的算术平均数的倒数。
解 (1)；(2)，；3).
巩固练习。1. 设等差数列的公差不为，．若是与的等比中项，则。
2．在数列中， ,且对任意大于1的正整数， 点在直线上， 则___3
3.平面上有条直线，它们任何两条不平行，任何三条不共点，设条这样的直线把平。
面分成个区域，则条直线把平面分成的区域数
4．已知数列满足， 则其前2008项和___
5. 已知公差不为零的等差数列中，是其前项和，且成等比数列。
1) 求数列的公比；
2) 若，求等差数列的通项公式。
解，. 6．在等差数列中，，前项和满足条件，
1) 求数列的通项公式；
2) 记，求数列的前项和。
解 (1)，又，所以。
7．已知数列满足。
（1）证明：数列是等比数列；
（2）求数列的通项公式；
（3）若数列满足证明是等差数列。解， ①
－①，得 即。
－③，得即。
是等差数列。
8．数列的首项为， 前项和为满足。
1) 求证： 数列是等比数列；
2) 设数列公比为， 作数列， 使， 求。
数列的通项公式；
3) 求和：.
解 (1)；(2); 3).
9.我们知道时， 满足递推公式(常数)的数列称为等差数列。
1) 作为推广， 可将递推公式右侧的常数改为一个与有关的数， 例如， 这样的数列虽然不是等差的， 但是自第二项起， 后项与前项的差构成一个等差数列， 对于这样的数列我们称之为“二阶等差数列”. 当时， 试求满足递推公式的数列的通项公式；
2) 对于递推公式， 改变其中的一些量还可以得到一些其它的数列， 例如： 改变系数可得。 试改变(1)中的一些量， 得到一个新的递推公式， 并求出其通项公式， 也可以对求出递推公式(2)所对应的通项公式(取).
解 (1)；(2)①直接对递推式(2)求解通项公式， 并得到正确答案（
；②对递推式进行修改， 但只涉及到前后两项的， 得到正确答案，例如改变次数： 已知， ,求数列的通项公式（）.对递推式进行修改， 改变项数的(增加1项)或者具有一般性的， 并正确求解，例如改变项数：
, 求数列的通项公式。
数列综合问题
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