1．(2010·桂林)如图，已知正方形abcd的边长为4，e是bc边上的一个动点，ae⊥ef，ef交dc于f，设be＝x，fc＝y，则当点e从点b运动到点c时，y关于x的函数图象是( )
解析】连结af，由题意，ec＝4－x，fd＝4－y，在rt△aef中，ae2＋ef2＝af2，即x2＋42＋y2＋(4－x)2＝42＋(4－y)2，化简得y＝－x2＋x＝－(x－2)2＋1.∵0≤x≤4，∴选a.
2．(2010·杭州)定义[a，b，c]为函数y＝ax2＋bx＋c的特征数，下面给出特征数为[2m,1－m，－1－m]的函数的一些结论：
当m＝－3时，函数图象的顶点坐标是(，)当m>0时，函数图象截x轴所得的线段长度大于；
当m<0时，函数在x>时，y随x的增大而减小；
当m≠0时，函数图象恒过同一个点．
其中正确的结论有( )
a．①②b．①②c．①③d．②④
解析】由题意可得，特征数为[2m,1－m，－1－m]的函数设为y＝2mx2＋(1－m)x－1－m.
当m＝－3时，y＝－6x2＋4x＋2＝－6(x－)2＋.
函数图象的顶点坐标为(，)正确；当x>0时，函数图象截x轴所得的线段长度为|x2－x1|＝＝故②正确；当m<0时，函数的对称轴为x＝－＝结论③是不正确的；当m≠0时，y＝2mx2＋(1－m)x－1－m＝(x－1)(2mx＋m＋1)，∴函数图象恒过一点(1,0)，④正确．
答案】b3．(2010·成都)如图，在△abc中，∠b＝90°，ab＝12 mm，bc＝24 mm，动点p从点a开始沿边ab向b以2 mm/s的速度移动(不与点b重合)，动点q从点b开始沿边bc向c以4 mm/s的速度移动(不与点c重合)．如果p、q分别从a、b同时出发，那么经过___s，四边形apqc的面积最小．
解析】设经过t s，四边形apqc的面积是s.由题意，得s＝s△abc－s△pbq＝×12×24－(12－2t)×4t＝4t2－24t＋144＝4(t－3)2＋108，故当t＝3 s时，四边形apqc的面积最小，是108mm2.
答案】34．(2010·河南)如图，rt△abc中，∠c＝90°，∠abc＝30°，ab＝6，点d在ab边上，点e是bc边上一点(不与点b、c重合)，且da＝de，则ad的取值范围是___
答案】2≤ad<3
5．(2010·临沂)为确保信息安全，信息需要加密传输，发送方由明文→密文(加密)，接收方由密文→明文(解密)．已知加密规则为：明文a，b，c，d对应密文a＋2b,2b＋c,2c＋3d,4d，例如，明文1,2,3,4对应密文5,7,18,16，当接收方收到密文14,9,23,28时，则解密得到的明文为___
解析】由题意可得，a＋2b＝14,2b＋c＝9,2c＋3d＝23，4d＝28，由4d＝28可得，d＝7，∴c＝1，b＝4，a＝6.
答案】6,4,1,7
6．(2010·珠海)我们常用的数是十进制数，计算机程序使用的是二进制数(只有数码0和1)，它们两者之间可以互相换算，如将(101)2，(1011)2换算成十进制数应为：
按此方式，将二进制数(1001)2换算成十进制数的结果是___
解析】(1001)2＝1×23＋0×22＋0×21＋1×20＝9.
答案】97．(2010·重庆)含有同种果蔬但浓度不同的a、b两种饮料，a种饮料重40千克，b种饮料重60千克．现从这两种饮料中各倒出一部分，且倒出部分的质量相同，再将每种饮料所倒出的部分与另一种饮料余下的部分混合．如果混合后的两种饮料所含的果蔬浓度相同．那么从每种饮料中倒出的相同质量是___千克．
解析】设从每种饮料中倒出x千克，a、b两种饮料的浓度分别为m、n，列方程，得，解得x＝24.
答案】248．(10分)(2010·上海)已知梯形abcd中，ad∥bc，ab＝ad，如图所示，∠bad的平分线ae交bc于点e，连结de.
1)在图中，用尺规作∠bad的平分线ae(保留作图痕迹，不写作法)，并证明四边形abed是菱形；
2)∠abc＝60°，ec＝2be，求证：ed⊥dc.
1)解：如图，分别以点b、d为圆心，以大于ab的长为半径作弧，两弧交于一点p，连结ap，ap即为∠bad的平分线，且ap交bc于点e.连结bd、de，ap与bd交点为o.
ab＝ad，∠bao＝∠dao，ao＝ao，△abo≌△ado，bo＝od.
ad∥bc，∴∠obe＝∠oda，∠oad＝∠oeb.
△boe≌△doa，∴be＝ad，四边形abed为平行四边形．又∵ab＝ad，平行四边形abed为菱形．
2)设de＝2a，则ce＝4a，过点d作df⊥bc，垂足为f.
∠abc＝60°，∴def＝60°，∴edf＝30°，∴ef＝de＝a，则df＝a，cf＝ce－ef＝4a－a＝3a.
cd＝＋＝2a.
ed2＋dc2＝ec2，△edc为直角三角形，∴ed⊥dc.
9．(12分)(2010·深圳)阅读下列材料：
正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．数学老师给小明同学出了一道题目：在图①的正方形网格(每个小正方形边长为1)中画出格点△abc，使ab＝ac＝，bc＝；
小明同学的做法是：由勾股定理，得ab＝ac＝＝，bc＝＝，于是画出线段ab、ac、bc，从而画出格点△abc.
1)请你参考小明同学的做法，在图②的正方形网格(每个小正方形边长为1)中画出格点△a′b′c′(a′点位置如图所示)，使a′b′＝a′c′＝5，b′c′＝(直接画出图形，不写过程)；
2)观察△abc与△a′b′c′的形状，猜想∠bac与∠b′a′c′有怎样的数量关系，并证明你的猜想．
答案】(1)△a′b′c′如图所示．(画法不唯一)
2)猜想：∠bac＝∠b′a′c′.
证明：∵＝abc∽△a′b′c′，∠bac＝∠b′a′c′
10．(12分)(2010·宜昌)函函游园记。
函函早晨到达上海世博园d区入口处等待开园．九时整开园，d区入口处有10n条安全检查通道让游客通过安检入园，游客每分钟按相同的人数源源不断到达这里等待入园，直到中午十二时d区入口处才没有排队人群，游客一到就可安检入园．九时二十分函函通过安检进入上海世博园时，发现平均一个人通过安全检查通道入园耕时20秒．
排队的思考。
1)若函函在九时整排在第3 000位，则这时d区入口安全检查通道可能有多少条？
2)若九时开园时等待在d区入口处的人数不变，当安检通道是现有的1.2倍且每分钟到达d区入口处的游客人数不变时，从中午十一时开始游客一到d区入口处就可安检入园；当每分钟到达d区入口处的游客增加了50%，仍要求从十二时开始游客一到d区入口处就可安检入园，求这时需要增加安检通道的数量．
a解：(1)依题意，得3 000＝10n××20×60.
10n＝50.
即这时d区入口安全检查通道可能有50条．
2)设九时开园时，等待在d区入口处的人数为x，每分钟到达d区入口处的游客人数为y，增加的安检通道数量为k.
根据题意，得。
解得。故需要增加安检通道的数量为15个．
11．(12分)(2010·江西)如图①所示的遮阳伞，伞柄垂直于水平地面，其示意图如图②.当伞收紧时，点p与点a重合．当伞慢慢撑开时，动点p由a向b移动，当点p到达点b时，伞张得最开．已知伞在撑开的过程中，总有pm＝pn＝cm＝6.0分米，ce＝cf＝18.
0分米，bc＝2.0分米．使ap＝x分米．
1)求x的取值范围；
2)若∠cpn＝60°，求x的值；
3)设阳光直射下，伞下的阴影(假定为圆面)面积为y，求y关于x的关系式(结果保留π)．
解：(1)∵bc＝2，ac＝cn＋pn＝12，∴ab＝12－2＝10.
x的取值范围是0≤x≤10.
2)∵cn＝pn，∠cpn＝60°，∴pcn是等边三角形．∴cp＝6.
ap＝ac－pc＝12－6＝6.
即当∠cpn＝60°时，x＝6分米．
3)连结mn、ef，分别交ac于o、h.
pm＝pn＝cn，∴四边形pncm是菱形，mn与pc互相垂直平分，ac是∠ecf的平分线．
po＝＝＝6－x.
在rt△mop中，pm＝6，mo2＝pm2－po2＝62－(6－x)2＝6x－x2.
又∵ce＝cf，ac是∠ecf的平分线，eh＝hf，ef⊥ac.
∠ech＝∠mco，∠ehc＝∠moc＝90°.
△cmo∽△ceh，∴＝
＝()2，eh2＝9·mo2＝9·mo2＝9·(6x－x2)
y＝π·eh2＝9π(6x－x2)．
即y＝－πx2＋54πx.
12．(12分)(2010·上海)如图，在rt△abc中，∠acb＝90°.半径为1的圆a与边ab相交于点d，与边ac相交于点e，连结de并延长，与线段bc的延长线交于点p.
1)当∠b＝30°时，连结ap，如图①，若△aep与△bdp相似，求ce的长；
2)若ce＝2，bd＝bc，如图②，求∠bpd的正切值；
3)若tan∠bpd＝，如图③，设ce＝x，△abc的周长为y，求y关于x的函数关系式．
解：(1)∵∠b＝30°，∠acb＝90°，∴bac＝60°.
ad＝ae，∴∠aed＝60°＝∠cep.
∠epc＝30°.
△bdp为等腰三角形．
△aep与△bdp相似，∠eap＝∠epa＝∠dbp＝∠dpb＝30°.
ae＝ep＝1.
在rt△ecp中，ec＝ep＝.
2)过点d作dq⊥ac于点q，且设aq＝a，bd＝x.
ae＝1，ec＝2，∴qc＝3－a.
∠acb＝90°，∴adq与△abc相似．
＝，即＝，∴a＝.
在rt△adq中，dq＝＝＝
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