2011突破难点。
十四）数列综合应用问题。
案例**。例1］从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业，根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少，本年度当地旅游业收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加。
1)设n年内(本年度为第一年)总投入为an万元，旅游业总收入为bn万元，写出an,bn的表达式；
2)至少经过几年，旅游业的总收入才能超过总投入？
命题意图：本题主要考查建立函数关系式、数列求和、不等式等基础知识；考查综合运用数学知识解决实际问题的能力，本题有很强的区分度，属于应用题型，正是近几年高考的热点和重点题型，属★★★级题目。
知识依托：本题以函数思想为指导，以数列知识为工具，涉及函数建模、数列求和、不等式的解法等知识点。
错解分析：(1)问an、bn实际上是两个数列的前n项和，易与“通项”混淆；(2)问是既解一元二次不等式又解指数不等式，易出现偏差。
技巧与方法：正确审题、深刻挖掘数量关系，建立数量模型是本题的灵魂，(2)问中指数不等式采用了换元法，是解不等式常用的技巧。
解：(1)第1年投入为800万元，第2年投入为800×(1－)万元，…第n年投入为800×(1－)n－1万元，所以，n年内的总投入为。
an=800+800×(1－)+800×(1－)n－1=800×(1－)k－1
4000×［1－()n］
第1年旅游业收入为400万元，第2年旅游业收入为400×(1+)，第n年旅游业收入400×(1+)n－1万元。所以，n年内的旅游业总收入为。
bn=400+400×(1+)+400×(1+)k－1=400×()k－1.
1600×［(n－1］
2)设至少经过n年旅游业的总收入才能超过总投入，由此bn－an＞0，即：
1600×［(n－1］－4000×［1－()n］＞0，令x=()n，代入上式得：5x2－7x+2＞0.解此不等式，得x＜，或x＞1(舍去).即()n＜，由此得n≥5.
至少经过5年，旅游业的总收入才能超过总投入。
例2］已知sn=1++…n∈n*)设f(n)=s2n+1－sn+1,试确定实数m的取值范围，使得对于一切大于1的自然数n，不等式：f(n)＞［logm(m－1)］2－［log(m－1)m］2恒成立。
命题意图：本题主要考查应用函数思想解决不等式、数列等问题，需较强的综合分析问题、解决问题的能力。属★★★级题目。
知识依托：本题把函数、不等式恒成立等问题组合在一起，构思巧妙。
错解分析：本题学生很容易求f(n)的和，但由于无法求和，故对不等式难以处理。
技巧与方法：解决本题的关键是把f(n)(n∈n*)看作是n的函数，此时不等式的恒成立就转化为：函数f(n)的最小值大于［logm(m－1)］2－［log(m－1)m］2.
解：∵sn=1++…n∈n*)
f(n+1)＞f(n)
f(n)是关于n的增函数。
f(n) min=f(2)=
要使一切大于1的自然数n，不等式。
f(n)＞［logm(m－1)］2－［log(m－1)m］2恒成立。
只要＞［logm(m－1)］2－［log(m－1)m］2成立即可。
由得m＞1且m≠2
此时设［logm(m－1)］2=t 则t＞0
于是解得0＜t＜1
由此得0＜［logm(m－1)］2＜1
解得m＞且m≠2.
锦囊妙计。1.解答数列综合题和应用性问题既要有坚实的基础知识，又要有良好的思维能力和分析、解决问题的能力；解答应用性问题，应充分运用观察、归纳、猜想的手段，建立出有关等差(比)数列、递推数列模型，再综合其他相关知识来解决问题。
2.纵观近几年高考应用题看，解决一个应用题，重点过三关：
1)事理关：需要读懂题意，明确问题的实际背景，即需要一定的阅读能力。
2)文理关：需将实际问题的文字语言转化数学的符号语言，用数学式子表达数学关系。
3)事理关：在构建数学模型的过程中；要求考生对数学知识的检索能力，认定或构建相应的数学模型，完成用实际问题向数学问题的转化。构建出数学模型后，要正确得到问题的解，还需要比较扎实的基础知识和较强的数理能力。
歼灭难点训练。
一、选择题。
1.(★已知二次函数y=a(a+1)x2－(2a+1)x+1，当a=1，2，…，n，…时，其抛物线在x轴上截得的线段长依次为d1,d2，…,dn,…,则(d1+d2+…+dn)的值是( )
a.1b.2c.3d.4
二、填空题。
2.(★在直角坐标系中，o是坐标原点，p1(x1，y1)、p2(x2，y2)是第一象限的两个点，若1，x1，x2，4依次成等差数列，而1，y1，y2，8依次成等比数列，则△op1p2的面积是。
3.(★从盛满a升酒精的容器里倒出b升，然后再用水加满，再倒出b升，再用水加满；这样倒了n次，则容器中有纯酒精___升。
4.(★据2023年3月5日九届人大五次会议《**工作报告》：“2023年国内生产总值达到95933亿元，比上年增长7.
3%，”如果“十·五”期间(2023年~2023年)每年的国内生产总值都按此年增长率增长，那么到“十·五”末我国国内年生产总值约为___亿元。
三、解答题。
5.(★已知数列满足条件：a1=1,a2=r(r＞0),且是公比为q(q＞0)的等比数列，设bn=a2n－1+a2n(n=1,2,…)
1)求出使不等式anan+1+an+1an+2＞an+2an+3(n∈n*)成立的q的取值范围；
2)求bn和，其中sn=b1+b2+…+bn；
3)设r=219.2－1，q=，求数列{}的最大项和最小项的值。
6.(★某公司全年的利润为b元，其中一部分作为奖金发给n位职工，奖金分配方案如下：首先将职工按工作业绩(工作业绩均不相同)从大到小，由1到n排序，第1位职工得奖金元，然后再将余额除以n发给第2位职工，按此方法将奖金逐一发给每位职工，并将最后剩余部分作为公司发展**。
1)设ak(1≤k≤n)为第k位职工所得奖金金额，试求a2,a3，并用k、n和b表示ak(不必证明)；
2)证明ak＞ak+1(k=1,2,…,n－1),并解释此不等式关于分配原则的实际意义；
3)发展**与n和b有关，记为pn(b),对常数b，当n变化时，求pn(b).
7.(★据有关资料，2023年我国工业废弃垃圾达到7.4×108吨，占地562.
4平方公里，若环保部门每年**或处理1吨旧物资，则相当于处理和减少4吨工业废弃垃圾，并可节约开采各种矿石20吨，设环保部门2023年**10万吨废旧物资，计划以后每年递增20%的**量，试问：
1)2023年**废旧物资多少吨？
2)从2023年至2023年可节约开采矿石多少吨(精确到万吨)？
3)从2023年至2023年可节约多少平方公里土地？
8.(★已知点的序列an(xn，0),n∈n,其中x1=0,x2=a(a＞0),a3是线段a1a2的中点，a4是线段a2a3的中点，…，an是线段an－2an－1的中点，….
1)写出xn与xn－1、xn－2之间关系式(n≥3);
2)设an=xn+1－xn，计算a1,a2,a3，由此推测数列的通项公式，并加以证明；
3)求xn.
参***。难点磁场。
解：(1)设f(x)=a(x－)2－，由f(1)=0得a=1.
f(x)=x2－(t+2)x+t+1.
2)将f(x)=(x－1)［x－(t+1)］代入已知得：
x－1)［x－(t+1)］g(x)+anx+bn=xn+1，上式对任意的x∈r都成立，取x=1和x=t+1分别代入上式得：
且t≠0，解得an=［(t+1)n+1－1］，bn=［1－(t+1n)
3)由于圆的方程为(x－an)2+(y－bn)2=rn2，又由(2)知an+bn=1，故圆cn的圆心on在直线x+y=1上，又圆cn与圆cn+1相切，故有rn+rn+1=｜an+1－an｜= t+1)n+1
设的公比为q，则。
得q==t+1，代入①得rn=
sn=π(r12+r22+…+rn2)=［t+1)2n－1］
歼灭难点训练。
一、1.解析：当a=n时y=n(n+1)x2－(2n+1)x+1
由｜x1－x2｜=，得dn=，∴d1+d2+…+dn
答案：a二、2.解析：
由1,x1,x2,4依次成等差数列得：2x1=x2+1,x1+x2=5解得x1=2,x2=3.又由1，y1,y2,8依次成等比数列，得y12=y2,y1y2=8,解得y1=2,y2=4,p1(2,2),p2(3,4).
∴3,4)
答案：13.解析：第一次容器中有纯酒精a－b即a(1－)升，第二次有纯酒精a(1－)－即a(1－)2升，故第n次有纯酒精a(1－)n升。
答案：a(1－)n
4.解析：从2023年到2023年每年的国内生产总值构成以95933为首项，以7.3%为公比的等比数列，∴a5=95933(1+7.3%)4≈120000(亿元).
答案：120000
三、5.解：(1)由题意得rqn－1+rqn＞rqn+1.由题设r＞0,q＞0,故从上式可得：q2－q－1＜0，解得＜q＜,因q＞0,故0＜q＜;
2)∵.b1=1+r≠0，所以是首项为1+r，公比为q的等比数列，从而bn=(1+r)qn-1.
当q=1时，sn=n(1+r),从上式可知，当n－20.2＞0，即n≥21(n∈n*)时，cn随n的增大而减小，故。
1＜cn≤c21=1+=2.25
当n－20.2＜0，即n≤20(n∈n*)时，cn也随n的增大而减小，故1＞cn≥c20=1+=－4
综合①②两式知，对任意的自然数n有c20≤cn≤c21,故的最大项c21=2.25，最小项c20=－4.
6.解：(1)第1位职工的奖金a1=，第2位职工的奖金a2= (1－)b，第3位职工的奖金a3= (1－)2b，…，第k位职工的奖金ak= (1－)k－1b;
2)ak－ak+1= (1－)k－1b＞0，此奖金分配方案体现了“按劳分配”或“不吃大锅饭”的原则。
2023年高考数学复习学案 数列综合问题
教学目标 通过研究数列的特征和性质，让学生掌握判定数列中的项的常用方法，学会处理数列单调性的相关问题，从而提高学生对问题分析 转化与突破的能力。教学重点 求解方程整数解的方法与作差法处理数列的单调性。教学难点 方程整数解的存在性判定，离散型不等式恒成立的转化。教学过程 开场白，明确本课的主题。研究对...
2023年高考数列问题集锦
班级姓名。1 安徽理 11 如图所示，程序框图 算法流程图 的输出结果是。2 安徽文 7 若数列的通项公式是，则。a 15b 12cd 3 在等比数列中，若，则公比。4 设，记为平行四边形内部 不含边界 的整点的个数，其中整点是指横 纵坐标都是整数的点，则 的所有可能取值为。5 广东理11.等差数列...
高考综合能力数列综合问题九
题型 在知识网络的交汇点处设计试题是近年来高考命题的特点 数列作为高中数学的重要内容，不仅本身成为高考考查的重点，而且常常与不等式 函数 解析几何等知识综合在一起，成为高考命题的热点 范例选讲。例1 已知函数，点，是函数图像上的两个点，且线段的中点的横坐标为 求证 点的纵坐标是定值 若数列的通项公式...