第六章第二节数列的应用。
第六章数列。
第一部分五年高考体题荟萃。
第二节数列的应用。
2023年高考题。
一、选择题。
1.（2009广东卷理）已知等比数列满足，且，则当时。
abcd.
解析】由得，，则， ，选c
答案 c2.（2009辽宁卷理）设等比数列的前n 项和为 ，若 =3 ，则。
a. 2 b. cd.3
解析】设公比为q ,则＝1＋q3＝3 q3＝2
于是 答案】b
3.（2009宁夏海南卷理）等比数列的前n项和为，且4，2，成等差数列。若=1，则=(
a.7b.8c.15d.16
解析】4，2，成等差数列，,选c.
答案】 c4.（2009湖北卷文）设记不超过的最大整数为，令{}=则{}，a.是等差数列但不是等比数列b.是等比数列但不是等差数列。
c.既是等差数列又是等比数列d.既不是等差数列也不是等比数列。
答案】b解析】可分别求得，.则等比数列性质易得三者构成等比数列。
5.（2009湖北卷文）古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种性状来研究数，例如：
他们研究过图1中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图2中的1，4，9，16…这样的数成为正方形数。下列数中及时三角形数又是正方形数的是。
a.289b.1024c.1225d.1378
答案】c解析】由图形可得三角形数构成的数列通项，同理可得正方形数构成的数列通项，则由可排除a、d，又由知必为奇数，故选c.
6..（2009安徽卷理）已知为等差数列，++105，=99，以表示的前项和，则使得达到最大值的是
a.21b.20 c.19d. 18
答案】 b解析】由++=105得即，由=99得即 ，∴由得，选b
7.（2009江西卷理）数列的通项，其前项和为，则为。
abcd．答案】 a
解析】由于以3 为周期，故。
故选a8.（2009四川卷文）等差数列｛｝的公差不为零，首项＝1，是和的等比中项，则数列的前10项之和是。
a. 90b. 100 c. 145d. 190
答案】b解析】设公差为，则。∵≠0，解得＝2，∴＝10
二、填空题。
9.（2009浙江文）设等比数列的公比，前项和为，则。
命题意图】此题主要考查了数列中的等比数列的通项和求和公式，通过对数列知识点的考查充分体现了通项公式和前项和的知识联系．
答案 15解析对于
10.（2009浙江文）设等差数列的前项和为，则，，，成等差数列．类比以上结论有：设等比数列的前项积为，则成等比数列．
命题意图】此题是一个数列与类比推理结合的问题，既考查了数列中等差数列和等比数列的知识，也考查了通过已知条件进行类比推理的方法和能力。
答案： 解析对于等比数列，通过类比，有等比数列的前项积为，则，，成等比数列．
11.（2009北京理）已知数列满足：则。
答案 1，0
解析本题主要考查周期数列等基础知识。属于创新题型。
依题意，得，.
应填1，0.
12..（2009江苏卷）设是公比为的等比数列，，令，若数列有连续四项在集合中，则。
答案 -9解析考查等价转化能力和分析问题的能力。等比数列的通项。
有连续四项在集合，四项成等比数列，公比为，= 9
13.(2009山东卷文)在等差数列中，则。
解析设等差数列的公差为，则由已知得解得，所以。
答案：13.
命题立意】:本题考查等差数列的通项公式以及基本计算。
14.(2009湖北卷理)已知数列满足：（m为正整数），若，则m所有可能的取值为。
答案 4 5 32
解析 （1）若为偶数，则为偶， 故。
当仍为偶数时， 故。
当为奇数时，故得m=4。
2）若为奇数，则为偶数，故必为偶数。
所以=1可得m=5
15.（2009宁夏海南卷理）等差数列{}前n项和为。已知+-=0，=38,则m=__
解析由+-=0得到。
答案1016.（2009陕西卷文）设等差数列的前n项和为，若，则。
解析：由可得的公差d=2,首项=2,故易得2n.
答案：2n17.(2009陕西卷理)设等差数列的前n项和为，若，则。
答案：118.（2009宁夏海南卷文）等比数列{}的公比， 已知=1，，则{}的前4项和。
解析由得：，即，，解得：q＝2，又=1，所以，，＝
答案 19.(2009湖南卷理)将正⊿abc分割成（≥2，n∈n）个全等的小正三角形（图2，图3分别给出了n=2,3的情形），在每个三角形的顶点各放置一个数，使位于⊿abc的三遍及平行于某边的任一直线上的数（当数的个数不少于3时）都分别一次成等差数列，若顶点a ,b ,c处的三个数互不相同且和为1,记所有顶点上的数之和为f(n)，则有f(2)=2，f(3)= f(n)= n+1)(n+2)
答案 解析当n=3时，如图所示分别设各顶点的数用小写字母表示，即由条件知。
即。进一步可求得。由上知中有三个数，中有6个数，中共有10个数相加 ，中有15个数相加….，若中有个数相加，可得中有个数相加，且由。
可得所以。20.（2009重庆卷理）设，，，则数列的通项公式。
解析由条件得且所以数列是首项为4，公比为2的等比数列，则。
答案 2n+1
三、解答题。
21.(2023年广东卷文)（本小题满分14分）
已知点（1，）是函数且）的图象上一点，等比数列的前项和为，数列的首项为，且前项和满足－=+
1）求数列和的通项公式；
2）若数列的前n项和为， 已知对任意的 ，点，均在函数且均为常数)的图像上。
1）求r的值；
11）当b=2时，记。
证明：对任意的 ，不等式成立。
解：因为对任意的，点，均在函数且均为常数的图像上。所以得，当时，当时，又因为{}为等比数列，所以，公比为，2）当b=2时，,
则，所以 下面用数学归纳法证明不等式成立。
1 当时，左边=,右边=,因为，所以不等式成立。
2 假设当时不等式成立，即成立。则当时，左边=
所以当时，不等式也成立。
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