2023年高考题汇总(数列部分)
第一部分选择题。
1（2007广东理数5） 已知数列的前项和，第项满足，则 （
a 9 b 8 c 7 d 6
2（2007天津文数理数8） 设等差数列的公差不为0，，若是与的等比中项，则 （
a 2 b 4 c 6 d 8
3（2007安徽文数3） 等差数列的前项和为，若，则 （
a 12 b 10 c 8 d 6
4（2007上海文数14） 数列中，，则数列的极限值 （
a 等于0 b 等于1 c 等于0或1 d 不存在。
5（2007福建理数2） 数列的前项和为，若，则 （
a 1 b c d
6（2007福建文数2） 等比数列中，，则 （
a 4 b 8 c 16 d 32
7（2007湖南文数4） 在等比数列中，若，则该数列的前10项和为 （
a b c d
8（2007湖北理数5） 已知和是两个不相等的正整数，且，则 （
a 0 b 1 c d
9（2007湖北理数8） 已知两个等差数列和的前项和分别为和，且，则使得为整数的正整数的个数是 （
a 2 b 3 c 4 d 5
10（2007海南宁夏理数4） 已知是等差数列，，其前10项和，则其公差 （
a b c d
11（2007海南宁夏理数7） 已知成等差数列，成等比数列，则的最小值是 （
a 0 b 1 c 2 d 4
12（2007海南宁夏文数6） 已知成等比数列，且曲线的顶点是，则等于 （
a 3 b 2 c 1 d
13（2007重庆理数1） 若等差数列的前3项和且，则等于 （
a 3 b 4 c 5 d 6
14（2007重庆理数8） 设正数满足，则（ ）
a 0 b c d 1
15（2007重庆文数1） 在等比数列中，，则公比为 （
a 2 b 3 c 4 d 8
16（2007重庆文数11） 设是和的等比中项，则的最大值为 （
a 1 b 2 c 3 d 4
17（2007辽宁理数4文数5） 设等差数列的前项和为，若，则 （
a 63 b 45 c 36 d 27
18（2007四川文数7）等差数列中，，其前项和，则（ ）
a 9 b 10 c 11 d 12
19（2007陕西理数5） 各项均为正数的等比数列的前项和为，若，则 （
a 80 b 30 c 36 d 16
20（2007陕西理数9文数11） 给出如下三个命题：
① 四个非零实数依次成等比数列的充要条件是；
② 设，若，则；
③ 若，则是偶函数。
其中不正确命题的序号是 （
abcd ①③
21（2007陕西文数5）等差数列的前项和为，若，则 （
a 12 b 18 c 24 d 42
第二部分填空题。
22（2007全国卷i理数15文数16）等比数列的前项和为，已知成等差数列，则的公比为。
23（2007天津13） 设等差数列的公差是2，前项和为，则___
24（2007全国卷ii理数16） 已知数列的通项，其前项和为，则___
25（2007全国卷ii文数14） 已知数列的通项，其前项和___
26（2007安徽理数14） 如图，抛物线与轴的正半轴交于点，将线段的等分点从左到右依次记为，过这些分点分别作轴的垂线，与抛物线的交点依次为，从而得到个直角三角形当时，这些三角形的面积之和的极限是___
27（2007北京文数10） 若数列的前项和，则此数列的通项公式为数列中数值最小的项是第项。
28（2007江西理数14） 已知数列对于任意，有，若，则。
29（2007江西文数14） 已知等差数列的前项和为，若，则。
30（2007海南宁夏文数16） 已知是等差数列，，其前5项和，则其公差。
31（2007重庆理数14） 设为公比的等比数列，若和是方程的两根，则。
第三部分解答题。
32（2007重庆理数21） 已知各项均为正数的数列的前项和满足，且。
⑴ 求的通项公式；
⑵ 设数列满足，并记为的前项和，求证： 。
33（2007浙江理数21） 已知数列中的相邻两项是关于的方程的两根，且。
⑴ 求；⑵ 求数列的前项和；
⑶ 记，，求证：。
34（2007天津理数21） 在数列中，，其中。
⑴ 求数列的通项公式；
⑵ 求数列的前项和；
⑶ 证明存在，使得对任意均成立。
35（2007天津文数20） 在数列中，。
⑴ 证明数列是等比数列；
⑵ 求数列的前项和；
⑶ 证明不等式，对任意皆成立。
36（2007四川文数22） 已知函数，设曲线在点处的切线与轴的交点为。
⑴ 用表示；
⑵ 若，记，证明数列成等比数列，并求的通项公式。
⑶ 若，是数列的前项和，证明。
37（2007上海理数20） 若有穷数列(是正整数)，满足…,，即(是正整数，且)，就称该数列为“对称数列”。
⑴ 已知数列是项数为7的对称数列，且成等差数列，，试写出的每一项；
⑵ 已知是项数为的对称数列，且构成首项为50，公差为的等差数列，数列的前项和为，则当为何值时，取到最大值？最大值为多少？
⑶对于给定的正整数，试写出所有项数不超过的对称数列，使得成为数列中的连续项，；当时，试求其中一个数列的前2008项和。
38（2007上海文数20）若有穷数列(是正整数)满足，，…即，我们称其为“对称数列”。例如数列与数列都是对称数列。
⑴ 设是7项的“对称数列”，其中成等差数列，且，依次写出的每一项；
⑵ 设是49项的“对称数列”，其中是首项为1，公比为2的等比数列，求的各项和；
⑶ 设是100项的“对称数列”，其中是首项为2，公差为3的等差数列，求的前项和。
39（2007陕西理数22） 已知各项全不为零的数列的前和为，且，其中。
⑴ 求数列的通项公式；
⑵ 对任意给定的正整数，数列满足，，求。
40（2007陕西文数20） 已知实数列是等比数列，其中，且成等差数列。
⑴ 求数列的通项公式；
⑵ 数列的前项和记为，证明：。
41（2007山东理数17） 设数列满足。
⑴ 求数列的通项；
⑵ 设，求数列的前项和。
42（2007山东文数18） 设是公比大于1的等比数列，为数列的前项和。已知且构成等差数列。
⑴ 求数列的通项公式；
⑵ 令，求数列的前项和。
43（2007全国卷ii理数21） 设数列的首项。
⑴ 求的通项公式；
⑵ 设，证明，其中为正整数。
44（2007全国卷ii文数17） 设等比数列的公比，前项和为，已知，，求的通项公式。
45（2007全国卷i理数22） 已知数列中，。
⑴ 求的通项公式；
⑵若数列中，证明：
46（2007全国卷i文数21） 设是等差数列，是各项都为正整数的等比数列且。
⑴ 求，的通项公式；
⑵ 求数列的前项和。
47（2007辽宁理数21） 已知数列，与函数，，满足条件，。
⑴ 若，且存在，求的取值范围，并求(用表示)；
⑵ 若函数为上的增函数，，证明对任意的，。
48（2007江西理数22） 设正整数数列满足，且对于任何，有。
⑴ 求，；⑵ 求数列的通项。
49（2007江西文数21） 设为等比数列，。
⑴ 求最小的自然数，使；
⑵ 求和：。
50（2007江苏理数20） 已知是等差数列，是公比为的等比数列，，，记为数列的前项和。
⑴ 若(是大于2的正整数)，求证：；
⑵ 若(是某一正整数)，求证：是整数，且数列中每一项都是数列中的项；
⑶ 是否存在这样的正数，使等比数列中有三项成等差数列？若存在，写出一个值，并加以说明；若不存在，请说明理由。
51（2007湖南理数21） 已知是曲线上的点，，是数列的前项和，且满足。
⑴ 证明：数列是常数数列；
⑵ 确定的取值集合，使使，数列是单调递增数列；
⑶ 证明：当时，弦的斜率随单调递增。
52（2007湖南文数20） 设是数列的前项和，，且。
⑴ 证明：数列是常数数列；
⑵ 试找出一个奇数，使以18为首项，7为公比的等比数列中的所有项都是数列中的项，并指出是数列中的第几项。
53（2007湖北理数21） 已知为正整数。
⑴ 用数学归纳法证明：当时，；
⑵ 对于，已知，求证；
⑶ 求出满足等式的所有正整数。
54（2007湖北文数20） 已知数列和满足，，且是以为公比的等比数列。
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